51nod 1239 欧拉函数之和

描述

对正整数 n ，欧拉函数是小于或等于 n 的数中与 n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 Euler’s totient function 、 φ 函数、欧拉商数等。例如：φ(8) = 4（Phi(8) = 4），因为 1,3,5,7 均和 8 互质。

S(n) = Phi(1) + Phi(2) + …… Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n = 5，S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10，定义Phi(1) = 1。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

 

Input

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

 

Output

输出S(n) Mod 1000000007的结果。

 

Input示例

5

 

Output示例

10

 

思路

和 51nod 1244 莫比乌斯函数之和 十分类似的一道题，因此我们可以采用同样的方法推出公式。

求 ∑ni=1φ(i)

我们设 M(n)=∑ni=1φ(i)

已知 ∑d|nφ(d)=n

所以有 ∑ni=1∑d|iφ(d)=∑ni=1∑⌊ni⌋d=1φ(d)=∑ni=1M(⌊ni⌋)=n×(n+1)2

因为 ∑ni=1M(⌊ni⌋)=M(n)+∑ni=2M(⌊ni⌋)=n×(n+1)2

所以 M(n)=n×(n+1)2−∑ni=2M(⌊ni⌋)

同样我们可以通过记忆化搜索以及分块来优化时间。

 

AC 代码

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<stdlib.h>#include<iostream>#include<queue>#include<vector>#include<map>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;typedef __int64 LL;const int maxn = 5000000;const int MOD = 1000000007;const int mod = 1e5+7;map<LL,LL> mp[mod];LL mu[maxn];int phi[maxn];void init(){    int j;    phi[1] = 1;    for(int i = 2; i < maxn; i++)        if(!phi[i])            for(j = i; j < maxn; j+=i)            {                if(!phi[j])phi[j] = j;                phi[j] = phi[j] / i * (i-1);            }    for(int i=1; i<maxn; i++)        mu[i]=(mu[i-1]+phi[i])%MOD;}LL call(LL x){    if(x<maxn)return mu[x];    LL p=mp[x%mod][x];    if(p)return p;    LL ans=(((x%MOD)*((x+1)%MOD)%MOD)*500000004)%MOD;    for(LL i=2,la=0; i<=x; i=la+1)    {        la=x/(x/i);        ans=(ans-(la-i+1)%MOD*call(x/i)%MOD+MOD)%MOD;    }    mp[x%mod][x]=ans;    return ans;}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    init();    LL n;    while(cin>>n)        cout<<call(n)<<endl;    return 0;}