算法分析

 第二章 算法分析

这章主要介绍如何进行算法分析

1. 数学理论

进行算法分析的时候需要的数学理论知识，主要是函数的关系，增长率，上界，下界

A. 如果当N大于某个值时，对于函数T(N) <= F(N) 那么有 T(N) = O(F(N))

意思是函数T(N)的增长率(增长率就是导数)小于F(N)，在N大于某个值后，T(N)始终小于F(N)，这样称F(N)是T(N)的上界

B.如果当N大于某个值时，对于函数T(N) >= F(N)那么有T(N) = Ω(F(N))，(我是打oumu欧姆，打出来的，但是这个符号叫omega)

意思是函数T(N)的增长率大于F(N)的增长率，当N大于某个值后，T(N)的值始终大于F(N)，那么称F(N)为T(N)的下界

C. 如果函数T(N)  = O(F(N)), 而且 T(N) = Ω(F(N)), 那么T(N) = theta(F(N))

意思是函数T(N)和F(N)的增长率相同，有相同的上下界

2. 计算模型和规则

计算时候只要按编程时候的语句计算就行，比如 x = x + y;

不用计算它的时间，这就是基本单位

规则就是按编程来算，for 是多条，if 是一条

for (int i = 0; i < 100; i); 这是100条

3. 需要分析的问题

计算的的时候算的是算法的最坏情况，不算平均情况

4. 计算算法的运行时间 例子

A. 线性时间的一个例子,

计算1到100的和

int sum = 0;

for (int i = 1; i < 101; i++) sum += i;

∑(i = 1; i = 100) 1; 算法时间是 100 - 1 + 1 = 100

作者列举的是∑(i = 1, i = N) i*i*i = 1**1 + 2**2 +...+N**N = O(N)

B. 指数时间的一个例子

∑(i = 1, i = N)∑(j = 1, j = N) i

= ∑(i = 1, i = N) Ni = 1*N + 2*N + 3*N+ N*N = N * (N + 1)/2

作者列举的是最大子序列求和的例子。这个例子很经典。不同的算法有不同的时间界限

穷举法O(N**3)

分治算法O(NlogN)

动态规划O(N) 很屌。以前我面试被问过，当时完全懵逼

C. 对数时间的一个例子

二分查找

时间计算：假设查询的个数为N，那么每次把N分为N/2再次进行查找，那么多少次之后查找的集合变成了1个呢。

这不典型的对数的定义吗? N 每次 除以2， 多少次之后 结果是 1，次数就是K=logN

当时我还想了想，举例说明，1000以10为底的对数。log10(1000)

那么就是1000每次除以10，多少次后结果是1， 1000/10=100/10=10/10=1, 3次，那么log10(1000)=3

总结：算法分析就是计算程序运行的次数。需要用数学公式进行证明