快速幂取模
来源:互联网 发布:淘宝卖家主图视频教程 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 03:21
原文: http://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/4097277.html#3734106
我们先从简单的例子入手:求ab mod c = 几。
算法1.首先直接地来设计这个算法:
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为O(b).这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。
那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:
ab mod c = (a mod c)b mod c
上面公式为下面公式的引理,即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后,我们可以先让a关于c取余,这样可以大大减少a的大小,
于是不用思考的进行了改进:
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a % c;
}
ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式,我就不证明了。
有了上述两个公式后,我们可以得出以下的结论:
1.如果b是偶数,我们可以记k = a2 mod c,那么求(k)b/2 mod c就可以了。
2.如果b是奇数,我们也可以记k = a2 mod c,那么求((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。
nt ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数,要多求一步,可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;
我们可以看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然,这样子治标不治本。但我们可以看到,当我们令k = (a * a) mod c时,状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c,所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完成迭代,当b是奇数时,我们通过
ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就可以进行迭代了。
形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。于是便可以在O(log b)的时间内完成了。于是,有了最终的算法:快速幂算法。
--------摘自百度文库
快速幂取模算法:
#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;/*朴素算法*//*表示a的b次幂然后对c取余的结果*/int power1(int a, int b, int c){ int res = 1; for (int i = 1; i <= b; i++) res = (res * a) % c; return res;}/*快速幂取模算法*/int power2(int a, int b, int c){ int res = 1; a %= c; while (b) { if (b & 1) res = (res * a) % c; a = (a * a) % c; b >>= 1; } return res;}int main(){ int n; while (~scanf("%d", &n)) { cout << power2(2, n, 9997) << endl; cout << power1(2, n, 9997) << endl; } return 0;}
也顺便贴一下快速幂算法
ll quick(ll a,ll b)//快速幂 a^b{ ll rs=1; while(b) { if(b&1) { rs=rs*a; } a=a*a; b>>=1; } return rs;}题目练习: http://poj.org/problem?id=1995
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