【快速幂】【快速幂取模】

原文：http://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html

快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。

　　首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a^11=a^(2^0+2^1+2^3)
　　11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子….不急，下面会有详细解释。 　　由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： & 和 >> 　　&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。 　　>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。 　　

int poww(int a,int b){     int ans=1,base=a;     while(b!=0){        if(b&1!=0)         　　ans*=base;         base*=base;          b>>=1; 　　 }      return ans; }

b>>=1 中的>>=意思是先将变量b的各个二进制位顺序右移1位，最高位补二进制0，然后将这个结果再复制给b。

　　代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理 base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base–>base^2–>base^4–>base^8–>base^16–>base^32…….指数正是 2^i 啊，再看上 面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。

　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。

　　还有，矩阵快速幂的求法唯一的区别就是*换成矩阵中的乘法，写个函数代换嘛，思想一毛一样。。

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快速幂取模：

int PowerMod(int a, int b, int c){    int ans = 1;    a = a % c;//(有时候n的值太大了会超出long long的储存，所以要先取余)     while(b>0)    {        if(b&1)//&位运算：判断二进制最后一位是0还是1,&的运算规则为前后都是1的时候才是1；(b % 2 == 1)        ans = (ans * a) % c;        b = b>>1;//相当于除以2；        a = (a * a) % c;    }    return ans;}