快速幂 + 快速幂取模

1.最一般的求a的b次方 

 

__int64 Pow1(int a,int b){__int64 ans;while(b--){ans *= a;}return ans;}

 

 

2.快速幂

原理

把b转换成2进制数

该2进制数第i位的权为（2^(i-1)）

例如

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1 0 1 1

11 = 2^3*1 + 2^2*0 + 2^1*1 + 2^0*1

因此，我们将a^11转化为算a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)

实现

快速幂可以用位运算这个强大的工具实现

b & 1 //也就是取b的二进制最末位

b >> 1 //就是去掉b的二进制最末位

有了这个强大的工具，快速幂就好实现了！

__int64 pow2( __int64 a, __int64 b ) {__int64 ans = 1;while( b ) {if( b&1 ) ans *= a; //末位是1  a *= a;  b = b>>1;}return ans;}

3.快速幂取模

int PowMod1(int a,int b,int c) // a 的 b 次方 对c取模 {int ans = 1;while(b--){ans = ans * a;} ans = ans % c;return ans;} 

 

公式： (a^b)%c =(a%c)^b %c

int PowMod2(int a,int b,int c) // a 的 b 次方 对c取模 {int ans = 1;a = a % c; //这里先取模while(b--){ans = ans * a;} ans = ans % c;return ans;} 

再改进：

int PowMod3(int a,int b,int c) // a 的 b 次方 对c取模 {int ans = 1;a = a % c;while(b--){ans = (ans * a) % c; //既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余 } ans = ans % c;return ans;} 

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

 快速幂算法依赖于以下公式

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论： 

1.如果b是偶数，我们可以记 k = a2 mod c，那么求 (k)b/2 mod c就可以了。 
2.如果b是奇数，我们也可以记 k = a2 mod c，

那么求 ((k)b/2 mod c × a ) mod   c  就可以了。

 

int PowMod4(int a,int b,int c) // a 的 b 次方 对c取模 {int ans = 1;a = a % c;if(b&1) ans = (ans *a)%c; // 如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中k = (a*a) % c;b = b/2;while(b--){ans = (ans * k) % c; //既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余 } ans = ans % c;return ans;} 

 

 

 

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。

但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过 ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。  
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

改进：(k在变动)

 

int PowMod5(int a,int b,int c) // a 的 b 次方 对c取模 {int ans = 1;a = a % c;while(b){if( b&1 ) ans = (ans*a ) % c; b = b>>1;a = (a * a) % c; } return ans;}