Prim算法和Kruskal算法

来源：互联网发布：ps4全境封锁网络优化编辑：程序博客网时间：2024/05/29 18:29

Prim算法和Kruskal算法都能从连通图找出最小生成树。区别在于Prim算法是挨个找，而Kruskal是先排序再找。

一、Prim算法：

Prim算法实现的是找出一个有权重连通图中的最小生成树，即：具有最小权重且连接到所有结点的树。(强调的是树，树是没有回路的)。

Prim算法是这样来做的：

首先以一个结点作为最小生成树的初始结点，然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边，并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边，选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了连通图中的最小生成树了。

Prim算法最小生成树查找过程：

C语言实现：

C代码

#include <stdio.h>
　　#include <stdlib.h>
　　#define maxint 1073741824
　　int main()
　　{
　　FILE *input=fopen(“input.txt”,“r”),*out=fopen(“output.txt”,“w”);
　　int n,m,i,j,x,y,w;
　　fscanf(input,”%d %d”,&n,&m);
　　int map[n][n],E[m][3],tree[m],Mst[n][n];
　　/*Mst表示最小生成树的邻接矩阵，map是原图，E是边集，其中E[0]和E[1]是边的两个顶点，E[2]是边的权值，tree是用于判断原图的点是否在最小生成树中*/
　　memset(tree,0,sizeof(tree));
　　for(i=0; i<n; i++)
　　{
　　for(j=0; j<n; j++)
　　{
　　map[i][j]=maxint;
　　Mst[i][j]=maxint;
　　}
　　E[i][0]=E[i][1]=maxint;
　　}
　　for(i=0; i<m; i++)
　　{
　　fscanf(input,”%d %d %d”,&x,&y,&w);
　　if(w<map[x][y])
　　{
　　map[x][y]=w;
　　map[y][x]=w;
　　}
　　}
　　int min=maxint,next=0,now=0,k=0;
　　tree[0]=1;
　　for(i=0; i<n; i++)
　　{
　　for(j=0; j<n; j++)
　　{
　　if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0)
　　{
　　E[k][0]=now;
　　E[k][2]=map[now][j];
　　E[k++][1]=j;
　　}
　　}
　　for(j=0; j<k; j++)
　　{
　　if(E[j][2]<min && tree[E[j][1]]==0)
　　{
　　min=E[j][2];
　　x=E[j][0];
　　y=E[j][1];
　　next=y;
　　}
　　}
　　tree[next]=1;
　　now=next;
　　Mst[x][y]=map[x][y];
　　Mst[y][x]=map[y][x];
　　min=maxint;
　　}
　　for(i=0; i<n; i++)
　　{
　　for(j=0; j<n; j++)
　　{
　　if(Mst[i][j]==maxint) //判断两点是否连通
　　fprintf(out,”00 ”); //美化输出，不必多加探究
　　else
　　{
　　fprintf(out,”%d ”,Mst[i][j]); //输出生成树的邻接矩阵，要输出树的自己可以根据邻接矩阵的数据进行加工
　　}
　　}
　　fprintf(out,”\n”);
　　}
　　fclose(input);
　　fclose(out);
　　return 0;
　　} // 程序未考虑不是连通图的情况，修改很简单，判断生成树的节点数量是否等于原图的节点数量
　　//如果小于（不会有大于）则本图不是连通图
　　//其实prim和迪杰斯特拉算法核心有相似之处

注意：
    　若候选轻边集中的轻边不止一条，可任选其中的一条扩充到T中。
    　连通网的最小生成树不一定是惟一的，但它们的权相等。
【例】在上图(e)中，若选取的轻边是(2，4)而不是(2，1)时，则得到如图(h)所示的另一棵MST。

算法特点
    　该算法的特点是当前形成的集合T始终是一棵树。将T中U和TE分别看作红点和红边集，V-U看作蓝点集。算法的每一步均是在连接红、蓝点集的紫边中选择一条轻边扩充进T中。MST性质保证了此边是安全的。T从任意的根r开始，并逐渐生长直至U=V，即T包含了 C中所有的顶点为止。MST性质确保此时的T是G的一棵MST。因为每次添加的边是使树中的权尽可能小，因此这是一种”贪心”的策略。
算法分析
    　该算法的时间复杂度为O(n²)。与图中边数无关，该算法适合于稠密图。

算法演示：

http://sjjp.tjuci.edu.cn/sjjg/DataStructure/DS/web/flashhtml/prim.htm

二、Kruskal算法：

Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于，Kruskal在找最小生成树结点之前，需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中，如果加入时产生回路就跳过这条边，加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了最小生成树。

C语言实现：

C代码

/* Kruskal.c
　　Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
　　All Rights Reserved.
　　*/
　　/* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */
　　#include ”stdio.h”
　　#define maxver 10
　　#define maxright 100
　　int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];
　　int circle=0;
　　int FindCircle(int,int,int,int);
　　int main()
　　{
　　int path[maxver][2],used[maxver][maxver];
　　int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;
　　int v1,v2,num,temp,status=0;
　　restart:
　　printf(”Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n”);
　　scanf(”%d”,&num);
　　if(num>maxver||num<0)
　　{
　　printf(”Error!Please reinput!\n”);
　　goto restart;
　　}
　　for(j=0;j<num;j++)
　　for(k=0;k<num;k++)
　　{
　　if(j==k)
　　{
　　G[j][k]=maxright;
　　used[j][k]=1;
　　touched[j][k]=0;
　　}
　　else
　　if(j<k)
　　{
　　re:
　　printf(”Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n”,j+1,k+1);
　　scanf(”%d”,&temp);
　　if(temp>=maxright||temp<-1)
　　{
　　printf(”Invalid input!\n”);
　　goto re;
　　}
　　if(temp==-1)
　　temp=maxright;
　　G[j][k]=G[k][j]=temp;
　　used[j][k]=used[k][j]=0;
　　touched[j][k]=touched[k][j]=0;
　　}
　　}
　　for(j=0;j<num;j++)
　　{
　　path[j][0]=0;
　　path[j][1]=0;
　　}
　　for(j=0;j<num;j++)
　　{
　　status=0;
　　for(k=0;k<num;k++)
　　if(G[j][k]<maxright)
　　{
　　status=1;
　　break;
　　}
　　if(status==0)
　　break;
　　}
　　for(i=0;i<num-1&&status;i++)
　　{
　　for(j=0;j<num;j++)
　　for(k=0;k<num;k++)
　　if(G[j][k]<min&&!used[j][k])
　　{
　　v1=j;
　　v2=k;
　　min=G[j][k];
　　}
　　if(!used[v1][v2])
　　{
　　used[v1][v2]=1;
　　used[v2][v1]=1;
　　touched[v1][v2]=1;
　　touched[v2][v1]=1;
　　path[0]=v1;
　　path[1]=v2;
　　for(t=0;t<record;t++)
　　FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);
　　if(circle)
　　{/*if a circle exsits,roll back*/
　　circle=0;
　　i–;
　　exsit=0;
　　touched[v1][v2]=0;
　　touched[v2][v1]=0;
　　min=maxright;
　　}
　　else
　　{
　　record++;
　　min=maxright;
　　}
　　}
　　}
　　if(!status)
　　printf(”We cannot deal with it because the graph is not connected!\n”);
　　else
　　{
　　for(i=0;i<num-1;i++)
　　printf(”Path %d:vertex %d to vertex %d\n”,i+1,path[0]+1,path[1]+1);
　　}
　　return 1;
　　}
　　int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre)
　　{ /* to judge whether a circle is produced*/
　　int i;
　　for(i=0;i<times;i++)
　　if(touched[begin]==1)
　　{
　　if(i==start&&pre!=start)
　　{
　　circle=1;
　　return 1;
　　break;
　　}
　　else
　　if(pre!=i)
　　FindCircle(start,i,times,begin);
　　else
　　continue;
　　}
　　return 1;
　　}

算法描述：克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边又关系，可以证明其时间复杂度为O（eloge）。

算法过程：

1.将图各边按照权值进行排序

2.将图遍历一次，找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。

3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法因为只与边相关，则适合求稀疏图的最小生成树。而prime算法因为只与顶点有关，所以适合求稠密图的最小生成树。

无疑，Kruskal算法在效率上要比Prim算法快，因为Kruskal只需要对权重边做一次排序，而Prim算法则需要做多次排序。尽管Prim算法每次做的算法涉及的权重边不一定会涵盖连通图中的所有边，但是随着所使用的排序算法的效率的提高，Kruskal算法和Prim算法之间的差异将会清晰的显性出来。

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