Prim算法和Kruskal算法

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

图例说明不可选可选已选（V_new） 

此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。---

顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。C, GA, B, E, FD 

下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。C, GB, E, FA, D算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。CB, E, GA, D, F 

在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。无C, E, GA, D, F, B 

这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。无C, GA, D, F, B, E

顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。无GA, D, F, B, E, C

现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。无无A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

 

 

 4.算法代码实现(未检验)

#define MAX  100000#define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否加入Vnewint adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点void prim(int start){     int sumweight=0;     int i,j,k=0;     for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1开始     {        lowcost[i]=edge[start][i];        addvnew[i]=-1;                                         //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外     }     addvnew[start]=0;                                        //将起始点start加入Vnew     adjecent[start]=start;                                                      for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                             {        int min=MAX;        int v=-1;        for(j=1;j<VNUM;j++)                                              {            if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径            {                min=lowcost[j];                v=j;            }        }        if(v!=-1)        {            printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);            addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中            sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和            for(j=1;j<VNUM;j++)            {                if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])                      {                    lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost                    adjecent[j]=v;                                             }            }        }    }    printf("the minmum weight is %d",sumweight);}

 

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v²)                 邻接表:O(elog₂v)

 

 

 

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new中

 

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

 

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

 

 

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

 

 

 

4.代码算法实现

typedef struct          {            char vertex[VertexNum];                                //顶点表             int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表             int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         }MGraph;  typedef struct node  {      int u;                                                 //边的起始顶点       int v;                                                 //边的终止顶点       int w;                                                 //边的权值   }Edge; void kruskal(MGraph G)  {      int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;      int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，判定两个顶点是否连通       int E[EdgeNum];                                         //存放所有的边       k=0;                                                    //E数组的下标从0开始       for (i=0;i<G.n;i++)      {          for (j=0;j<G.n;j++)          {              if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)              {                  E[k].u=i;                  E[k].v=j;                  E[k].w=G.edges[i][j];                  k++;              }          }      }         heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列           for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组       {          vset[i]=i;      }      k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数       j=0;                                                   //E中的下标       while (k<G.n)      {           sn1=vset[E[j].u];          sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号           if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树           {            printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);                   k++;              for (i=0;i<G.n;i++)              {                  if (vset[i]==sn2)                  {                      vset[i]=sn1;                  }              }                     }          j++;      }  }  

时间复杂度：elog₂e  e为图中的边数