Prim算法+Kruskal算法

转自：http://www.cnblogs.com/Veegin/archive/2011/04/29/2032388.html

http://www.cnblogs.com/Veegin/archive/2011/04/29/2032423.html

Prim算法：

今天从志权师兄那里学会了最小生成树。所谓生成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。而最小生成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最小值。

  

         首先，要用二维数组记录点和权值。如上图所示无向图：

int map[7][7];
       map[1][2]=map[2][1]=4;
       map[1][3]=map[3][1]=2;
       ......

      然后再求最小生成树。具体方法是：

1.先选取一个点作起始点，然后选择它邻近的权值最小的点（如果有多个与其相连的相同最小权值的点，随便选取一个）。如1作为起点。

visited[1]=1;

pos=1;

//用low[]数组不断刷新最小权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最小距离。

low[1]=0;  //起始点i到邻近点的最小距离为0

low[2]=map[pos][2]=4;

low[3]=map[pos][3]=2;

low[4]==map[pos][4]=3;

low[5]=map[pos][5]=MaxInt;  //无法直达

low[6]=map[pos][6]=MaxInt;

 

  2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最小的点。

//low[]以3作当前位置进行更新

visited[3]=1;

pos=3;

low[1]=0;   //已标记，不更新

low[2]=map[1][2]=4;  //比5小，不更新

low[3]=2;  //已标记，不更新

low[4]=map[1][4]=3;   //比1大，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;

low[5]=map[1][5]=MaxInt;//无法直达，不更新

low[6]=map[1][6]=MaxInt;//比2大，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;

 

    3.如此类推...

 

 

     当所有点都连同后，结果最生成树如上图所示。

     所有权值相加就是最小生成树，其值为2+1+2+4+3=12。

代码如下：

#include <stdio.h>#include <string.h>#define MaxInt 0x3f3f3f3f#define N 110//创建map二维数组储存图表，low数组记录每2个点间最小权值，visited数组标记某点是否已访问int map[N][N],low[N],visited[N];int n; int prim(){    int i,j,pos,min,result=0;    memset(visited,0,sizeof(visited));//从某点开始，分别标记和记录该点    visited[1]=1;pos=1;//第一次给low数组赋值    for(i=1;i<=n;i++)        if(i!=pos) low[i]=map[pos][i];//再运行n-1次    for(i=1;i<n;i++)    {//找出最小权值并记录位置     min=MaxInt;     for(j=1;j<=n;j++)         if(visited[j]==0&&min>low[j])         {             min=low[j];pos=j;         }//最小权值累加    result+=min;//标记该点    visited[pos]=1;//更新权值    for(j=1;j<=n;j++)        if(visited[j]==0&&low[j]>map[pos][j])            low[j]=map[pos][j];    }    return result;} int main(){    int i,v,j,ans;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {//所有权值初始化为最大        memset(map,MaxInt,sizeof(map));        for(i=1;i<=n;i++)            for(j=1;j<=n;j++)            {                scanf("%d",&v);                map[i][j]=map[i][j]=v;            }            ans=prim();            printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

Kruskal算法：

对于稀疏图来说，用Kruskal写最小生成树效率更好，加上并查集，可对其进行优化。

Kruskal算法的步骤：

1.对所有边进行从小到大的排序。

2.每次选一条边（最小的边），如果如果形成环，就不加入(u,v)中，否则加入。那么加入的(u,v)一定是最佳的。

并查集：
我们可以把每个连通分量看成一个集合，该集合包含了连通分量的所有点。而具体的连通方式无关紧要，好比集合中的元素没有先后顺序之分，只有“属于”与“不属于”的区别。图的所有连通分量可以用若干个不相交集合来表示。

而并查集的精妙之处在于用数来表示集合。如果把x的父结点保存在p[x]中(如果没有父亲，p[x]=x)，则不难写出结点x所在树的递归程序：

find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}

意思是，如果p[x]=x，说明x本身就是树根，因此返回x；否则返回x的父亲p[x]所在树的根结点。

既然每棵树表示的只是一个集合，因此树的形态是无关紧要的，并不需要在“查找”操作之后保持树的形态不变，只要顺便把遍历过的结点都改成树根的儿子，下次查找就会快很多了。如下图所示：

设第i条边的端点序号和权值分别保存在u[i],v[i],w[i]中，而排序后第i小的边保存在r[i]中。(间接排序是指排序的关键字是对象的代号，而不是对象本身。)

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <algorithm>#define N 150using namespace std;int m,n,u[N],v[N],w[N],p[N],r[N];int cmp(const int i,const int j) {return w[i]<w[j];}int find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}int kruskal(){    int cou=0,x,y,i,ans=0;    for(i=0;i<n;i++) p[i]=i;    for(i=0;i<m;i++) r[i]=i;    sort(r,r+m,cmp);    for(i=0;i<m;i++)    {        int e=r[i];x=find(u[e]);y=find(v[e]);        if(x!=y) {ans += w[e];p[x]=y;cou++;}    }    if(cou<n-1) ans=0;    return ans;} int main(){    int i,ans;    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF&&m)    {        for(i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);        }        ans=kruskal();        if(ans) printf("%d\n",ans);        else printf("?\n",ans);    }    return 0;}