基础数论算法（2） GCD LCM EXGCD 学习笔记

继续学习数论……
本文除非特殊说明，所有的数都是整数
本文参考：欧几里德与扩展欧几里德算法

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一、gcd

long long gcd(long long x,long long y){    return y==0?x:gcd(y,x%y);}

应该没什么好说的吧……非常朴素的算法
还有一种位运算优化，感觉实现起来非常复杂，NOIP也不大可能卡这个所以就不谈了……

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二、lcm
只需要记住一个公式：lcm(x,y)=x*y/gcd(x,y)
随便求→_→

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三、EXgcd
那么终于要来到数论2面的道中BossEXgcd
明明是EXgcd为什么不是EX面啊
EXgcd用于解决这样一类问题：
已知(a,b)，求解一组(p,q)，使得pa+qb=gcd(a,b).
解是一定存在的，根据是数论中的某个相关定理。
那么怎么求呢？
pa+qb=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=pb+q(a%b)=pb+q(a-⌊a/b⌋*b)=qa+(p-⌊a/b⌋*q)b
∴ p1=q,q2=p−⌊a/b⌋∗q
显然p、q都是单调递减的。而我们在无数次的gcd过程中，b的值最终变成0，即p*a=a，显然此时p=1,q=0是一组解。那么我们有没有办法逆推回去？答案是肯定的。实现：

#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if(!b){        x=1,y=0;        return a;    }    LL gcd,tmp;    gcd=exgcd(b,a%b,x,y);    tmp=x;    x=y,y=tmp-a/b*y;    return gcd;}int main(){    LL a,b,x,y,z;    cin>>a>>b;    z=exgcd(a,b,x,y);    cout<<z<<" "<<x<<" "<<y<<endl;    return 0;}

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四、EXgcd的应用
(一)EXgcd求解不定方程与线性同余方程
定理2.1 对于方程ax+by=c，该方程有整数解的充要条件是c%gcd(a,b)=0
我们可以用扩欧找出ax0+by0=gcd(a,b)的一组解。

我们不妨先找出ax0+by0=gcd(a,b)的所有解。
定理2.2 方程ax+by=gcd(a,b)的解为

x=x0+bt,y=y0−at，其中t∈Z，x0y0为任意一组整数解

由此可以方便的求出。
从此得到原方程的解：
定理2.3 方程ax+by=c若有整数解，则其整数解为方程ax+by=gcd(a,b)的解乘cgcd(a,b)

如果要求最小正整数解的话：
定理2.4 当t=bgcd(a,b)时x为最小正整数解，此时x=(x%t+t)%t

而对于线性同模方程
定理2.5 方程ax≡c(mod b)⇔ax+by=c

好了，定理都说完了，玄学竞赛是不需要证明的，所以我们直接来看一下代码。

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;typedef long long LL;LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if(!b){        x=1,y=0;        return a;    }    LL gcd,tmp;    gcd=exgcd(b,a%b,x,y);    tmp=x;    x=y,y=tmp-a/b*y;    return gcd;}vector<pair<LL,LL> > v;bool work(LL a,LL b,LL c,LL l,LL r,LL L,LL R){    LL x,y;    LL gcd=exgcd(a,b,x,y);    if(c%gcd) return false;    x*=c/gcd,y*=c/gcd;    v.push_back(make_pair(x,y));    for(LL p=x+b,q=y-a;p<=r&&p>=l&&q<=R&&q>=L;p+=b,q-=a)        v.push_back(make_pair(p,q));    for(LL p=x-b,q=y+a;p<=r&&p>=l&&q<=R&&q>=L;p-=b,q+=a)        v.push_back(make_pair(p,q));    return true;}int main(){    LL a,b,c,l,r,L,R;    cin>>a>>b>>c>>l>>r>>L>>R;    if(work(a,b,c,l,r,L,R)){        vector<pair<LL,LL> >::iterator it;        for(it=v.begin();it!=v.end();++it)            cout<<it->first<<" "<<it->second<<endl;    }}

（二）exgcd求逆元
逆元是很重要的，逆元是很重要的，逆元是很重要的。
所以掌握逆元的求法是很有必要的事情。
至于逆元怎么用我们之后再提.
逆元的定义：ax≡1(mod b)，且a,b互质则x为a的逆元。
由定义可知，其实我们是在求ax+by=1的解，典型的exgcd应用
那么实现方法：

void exgcd(int a,int b,int c,int &x,int &y){    if(a==0){        x=0,y=c/b;        return;    }else{        int tx,ty;        exgcd(b%a,a,tx,ty);        x=ty-(b/a)*tx;        y=tx;        return;    }}

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那么相关的例题我们之后和逆元一起说吧，因为逆元大概凑不够字数orz