扩展GCD的一些理解(求逆元,解同余方程,解方程等等)

首先要知道gcd函数的基本性质:
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(|a|,|b|)=gcd(b,a%b)//已通过代码验
不知道辗转相除法的请点这里

扩展欧几里得算法:
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然
存在整数对 x，y ，使得 k*gcd（a，b）=ax+by。
代码如下:

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)//求出来的x,y就是这么多了.相当于全局变量{    if(b==0)    {        x=1;y=0;        return a;    }    int r=exGcd(b,a%b,x,y);    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;    return r;//r为a,b的最大公约数.}

对以上代码的一些解释.
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
(因为x2,y2就是第一个递归来的,所以就可以根据递归来求出x1,x2).
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = k*gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)(即解一定存在,且答案为gcd(a,b)的整数倍)(所以下次看到要马上想到啊!!!)
//求出来的x是满足方程最小的那个x,所以有可能为负数,转换成满足方程的最小正数的方法是(x%a+a)%a,所以要根据题意来不断变换.

这个算法主要用于求//说实话,这个遇到题还真不好分析,真的只有多做题,提高自己的知识,再去做吧.
1:求解不定式
2:求解模线性方程(线性同余方程)
3:求解模的逆元

这里对求解不定式再做一定的说明,所有的我们都转换成求ax+by=gcd(a,b),然后再根据题意在方程的两边同时乘一定的数从而转换成我们要求的那个方程.然后考虑下x的正负就可以了.

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

p * a+q * b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解

板子理解题
AC Code

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if(!b){ x = 1; y = 0; return a; }    ll r = ex_gcd(b,a%b,x,y);    ll tmp = x;    x = y;    y = tmp - (a/b)*y;    return r;}void solve(){    ll s1,s2,v1,v2,m;    cin >> s1 >> s2 >> v1 >> v2 >> m;    ll A = v1-v2;    ll B = m;    ll C = s2-s1;    if(A < 0 ) A = A + m;    ll D = __gcd(A,B);    if(C % D ){        printf("-1\n");        return ;    }    A/=D; B/=D; C/=D;    ll x,y;    ex_gcd(A,B,x,y);    x = (x * C) % B;    x = (((x % B ) + B ) % B);    printf("%lld\n",x);}

(2) 用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程

a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0… d-1}。

设ans=x*(b/d),s=n/d;

方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

相关证明：

证明方程有一解是: x0 = x’(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x’(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax’ = d (mod n))
= b (mod n)

证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14…….

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之间的间隔就求出来了.

Code

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n){    int x,y,x0,i;    int d=exgcd(a,n,x,y);    if(b%d)        return false;    x0=x*(b/d)%n;   //特解    for(i=1;i<d;i++)        printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);    return true;}

(3) 用欧几里德算法求模的逆元：（一般情况下用快速幂就可以求了）

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x .

（2，3还不是很会, xx，以后加强）