3777. 【NOI2015模拟8.17】最短路（shortest）

题目描述

小Y最近学得了最短路算法，一直想找个机会好好练习一下。话虽这么说，OJ上最短路的题目都被他刷光了。正巧他的好朋友小A正在研究一类奇怪的图，他也想凑上去求下它的最短路。
小A研究的图可以这么看：在一个二维平面上有任意点(x,y)（0<=x<=N,0<=y<=M,且x,y均为整数），且(x,y)向(x-1,y)（必须满足1<=x）和(x,y-1)（必须满足1<=y）连一条边权为0的双向边。
每个点都有一个非负点权，不妨设(x,y)的权值为F[x][y]，则有：
1.x=0或y=0：F[x][y]=1；2.其他情况：F[x][y]=F[x-1][y]+F[x][y-1]。
现在，小Y想知道(0,0)到(N,M)的最短路，即使得经过的点的权值之和最小。为了炫耀自己学过最短路算法，他决定和你进行一场比赛，看谁的程序跑得快。然则小Y没有学过高精度算法，所以他希望输出答案时只输出答案模1000000007后的值。

题目分析

首先，我们仔细想一下便可以发现，我们必须尽量走点权为1的点。
而那些点在两条边上，我们只能走一条边。
所以我们只能那条走较长的边。
为了方便处理，我们把n当做较大的数（如果不是就把n和m调换，这不会影响答案）。
剩下的就是另一条边了，那条边的数毫无规律，我们怎么求和呢？
我们可以发现一个东西
就是f[i][j]=Cyx其中x=i+j，y=j。
找规律：
f[n][0]=1;
f[n][1]=f[n][0]*(n+1)/1;
f[n][2]=f[n][1]*(n+2)/2;
……
f[n][i]=f[n][i-1]*(n+i)/i;
接着我们便可以套用公式得出每一个数的答案。
但是我们如何边除边求余呢？
这里有一个公式：
(a/b) mod c=d;
e=a mod c;
(f*b) mod c=1;
则(e*f) mod c=d;
所以这样就可以了！

代码

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;long long x,y;void niyuan(long long a,long long b){    if(b==0)    {        x=1;y=0;        return ;    }    niyuan(b,a%b);    long long t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;}int main(){    long long n,m;    scanf("%lld%lld",&n,&m);    if(n<m)    {        long long t=n;        n=m;        m=t;    }    long long d=1,ans=n;    for(long long i=1;i<=m;i++)    {        long long e=1000000007;        niyuan(i,e);        x=(x%e+e)%e;        d=(d*(n+i))%e;        d=(d*x)%e;        ans=(ans+d)%e;    }    printf("%lld\n",ans+1);    return 0;}