1597: [Usaco2008 Mar]土地购买 斜率优化dp

题意

给出n块土地，每块土地都有其长和宽。若把若干块土地放在一起购买则需要的花费为最大的长*最大的宽。求购买所有土地的最小花费。
n<=50000

分析

首先很容易得到，若有两块土地长宽分别为l1,w1,l2,w2，若满足l1>=l2且w1>=w2则第二块土地可以忽略不计。
那么就先把所有没用的土地都去掉，并按长从小到大排序，那么宽自然就是递减的了。显然每次必然选取连续的一段，设f[i]表示前i块分成若干段的最小花费，显然可以得到f[i]=min(f[j]+w[j+1]∗l[i])

我们设有j < k且对于i而言选j比选k更优，那么必然有f[j]+w[j+1]∗l[i]<f[k]+w[k+1]∗l[i]

化简得f[j]−f[k]b[k+1]−b[j+1]>a[i]

那么问题就转换成了典型的斜率优化dp了，直接上板子即可。

移项的时候注意符号。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#define N 50005#define ll long long#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int n,q[N];ll f[N];struct data{ll l,w;}a[N];bool cmp(data a,data b){    return a.l<b.l||a.l==b.l&&a.w<b.w;}ll get1(int j,int k){    return f[j]-f[k];}ll get2(int j,int k){    return a[k+1].w-a[j+1].w;}int main(){    scanf("%d",&n);    for (int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld%lld",&a[i].l,&a[i].w);    sort(a+1,a+n+1,cmp);    ll mx=0;int n1=n;    for (int i=n;i>=1;i--)    {        if (a[i].w<=mx)        {            a[i].l=inf;            n1--;        }        else mx=a[i].w;    }    sort(a+1,a+n+1,cmp);    n=n1;    int head=1,tail=1;    q[1]=0;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        while (head<tail&&get1(q[head],q[head+1])>=get2(q[head],q[head+1])*a[i].l) head++;        f[i]=f[q[head]]+(ll)a[i].l*a[q[head]+1].w;        while (head<tail&&get1(q[tail-1],q[tail])*get2(q[tail],i)>get1(q[tail],i)*get2(q[tail-1],q[tail])) tail--;        q[++tail]=i;    }    printf("%lld",f[n]);    return 0;}