[BZOJ 1597][USACO 2008 Mar]土地购买(DP+斜率优化)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1597

思路

首先对所有的矩形按照第一关键字长度升序，第二关键字宽度升序排序，然后贪心地将每个会被其他矩形完全覆盖住的矩形全部删去。显然此时所有的矩形是按照长度升序，按照宽度降序排列的。为什么呢？假如有两个矩形i,j,i<j，且i的宽度是大于j的宽度的，由于之前去掉矩形前排序时已经保证了i的长度小于j的长度。则一定会有矩形i被矩形j覆盖，与之前已经去掉所有被覆盖的矩形相矛盾。

因此我们可以想到一个DP的做法，用f[i]表示前i个矩形最少购买代价，我们可以枚举j，使得区间[j+1,i]的矩形一起购买。则有：

f[i]=min{f[j]+hj+1li}

这个DP是O(n2)的，不能直接AC，但是可以通过单调队列优化。

假设当前要DP求出f[i]，x<y，且状态f[y]比f[x]更优，则有：

f[x]+hx+1li<f[y]+hy+1li

f[x]−f[y]hy+1−hx+1<li

这样我们只需要维护一个单调队列，并且队列中相邻两个状态对应的两个点的f[x]−f[y]hy+1−hx+1单调递减。这样就能在O(n)时间求出答案了

代码

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <algorithm>#define MAXN 51000using namespace std;typedef long long int LL;int n;struct Square{    LL l,h;}sqr[MAXN],stack[MAXN];int top=0;bool cmp(Square a,Square b){    if(a.l==b.l) return a.h<b.h;    return a.l<b.l;}LL f[MAXN];int q[MAXN],h=1,t=1;LL fracup(int a,int b){    return f[b]-f[a];}LL fracdn(int a,int b){    return sqr[a+1].h-sqr[b+1].h;}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld%lld",&sqr[i].l,&sqr[i].h);    sort(sqr+1,sqr+n+1,cmp);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        while(top>0&&sqr[i].h>=stack[top].h) top--;        stack[++top]=sqr[i];    }    q[t++]=0;    for(int i=1;i<=top;i++) sqr[i]=stack[i];    for(int i=1;i<=top;i++)    {        while(h+1<t&&fracup(q[h],q[h+1])<=sqr[i].l*fracdn(q[h],q[h+1])) h++;        f[i]=f[q[h]]+sqr[q[h]+1].h*sqr[i].l;        while(h+1<t&&fracup(q[t-1],i)*fracdn(q[t-2],q[t-1])<fracup(q[t-2],q[t-1])*fracdn(q[t-1],i)) t--;        q[t++]=i;    }    printf("%lld\n",f[top]);    return 0;}