容斥原理

容斥原理解决的往往是一类求若干集合的并集问题，且一般都是易求交集，难求并集。其思想的核心正是把对集合的 or 操作都转化为 and 操作。

规定一些记号：用大写字母表示一个集合， A∩B 表示 A 与 B 的交集， A∪B 表示 A 与 B 的并集。

下面就举一例具体分析容斥原理。

在 n 以内的自然数中，能被 3 整除或能被 5 整除的数有多少个？

用 O(n) 枚举当然很容易，但是用学好数学，用容斥原理，可以做到 O(1)！

首先考虑能被 3 整除的数组成的集合 A，显然有

|A|=⌊n÷3⌋

同理，对于能被 5 整除的数组成的集合 B，有

|B|=⌊n÷5⌋

正如上面的维恩图所示，我们所得到的 A 与 B 实际上是有交集的。如果单纯地把 |A|+|B| 作为答案，就会出错，例如 15，作为 3 的倍数被考虑过一次，作为 5 的倍数的时候又被考虑，就会计多了一次。不难发现，凡是被多计一次的，都同时满足是 3 的倍数和是 5 的倍数，即 A 与 B 的交集 C 实际上就是 15 的倍数。

既然多加了，那么只要把这部分减去即可，即最终的答案

|D|=|A|+|B|−|C|=|A|+|B|−|A∩B|

设有 A,B,C三个集合，这三个集合相互均有交集，并且三个集合之间也有交集。则这三个集合的并集可以表示为

A∪B∪C=A+B+C−A∩B−B∩C−A∩C+A∩B∩C

可以利用下面的图得到一个更为直观的解释：

在求两个集合的并集的时候，只需考虑减去中间重复计数的一小部分，即它们的交集。但在三个集合中，如果同样为了避免重复计数而减去三个集合之间两两的交集，就会发现，三个集合共同的交集被多减去了一次，因此要加回去。

除了上面这个问题外，其实还有一个我们常用的东西用到了容斥原理的思想，那就是二维前缀和。

如上图，预处理出左上角到每一个 (i,j) 的二维前缀和 f[i][j] 之后，为了求蓝色部分 (2,2) 到 (4,4) 的和，先取 f[4][4]，发现有些部分是我们不需要的，就把红色部分的 f[4][1] 和黄色部分的 f[1][4] 减去，但这会导致左上角被多减了一遍，再加回去就是了。

利用这个原理不难推出满足普遍规律的式子。一般地，有

Sum(x1,y1,x2,y2)=f[x2][y2]−f[x1−1][y2]−f[x2][y1−1]+f[x1−1][y1−1]

关于容斥原理的证明，我不会严格的表达，但在这里大致记录一下思路：用数学归纳法证明。

对于两个集合的情况，显然是成立的。

只要对于 i 个集合的情况成立，就可以推出 i+1 个集合的情况也成立，由此可以推出所有情况都是成立的。

例如，在 A∪B∪C 中，可以将 A∪B 视作一个整体，那么有

A∪B∪C=(A∪B)∪C=(A∪B)+C−(A∪B)∩C=(A+B−A∩B)+C−[(A∩C)∪(B∩C)]=A+B−A∩B+C−(A∩C+B∩C−A∩B∩C)=A+B+C−A∩B−A∩C−B∩C+A∩B∩C

这样就可以证明容斥原理的正确性了。

总结一下，可以发现计算规律：把所有集合相加，同时减去所有偶数重复，加上所有奇数重复。简单来记忆就是减偶加奇。具体编程实现，要通过题目来说明。

容斥原理看似只是一堆加加减减的操作，但其实在实际应用中还是有一定的思维难度。如何不重复、不遗漏地求出具有若干属性的值，也是一门艺术。