背包与贪心

来源：互联网发布：加工中心编程第一步编辑：程序博客网时间：2024/05/16 17:03

背包问题最经典的就是01背包。

n个物品，有体积 w 和价值 v 两种属性，选择一部分填充容量为 m 的背包（可以不填满），求能获得的最大价值。

其实分析下来，动态转移方程就是　f[i][v]=max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]} ,优化后就是　f[v]=max{f[v], f[v-c[i]]+w[i]} （第二重for循环从m -> v[i]，为了不更新i-1层的状态）

这个状态转移方程就会一个贪心过程，不断的用第i个物品更新每个f[j]的值，找到最大的f[j]，最终的结果就是最大值。

其实背包除了不一定恰好装满，恰好装满，还有大于等于背包的容量这种状态。像这种大于背包容量的最优解，不会求最大值（求最大值可以一直贪，无穷大），会求大于背包容量的最小花费（中文其实挺好玩的，求最大就说获得的价值，求最小就说是花费），这是一个零界点，具有最优性质在里面，所以用贪心去优化背包。

看一道2017年百度之星的题：

度度熊与邪恶大魔王

度度熊为了拯救可爱的公主，于是与邪恶大魔王战斗起来。

邪恶大魔王的麾下有n个怪兽，每个怪兽有a[i]的生命值，以及b[i]的防御力。

度度熊一共拥有m种攻击方式，第i种攻击方式，需要消耗k[i]的晶石，造成p[i]点伤害。

当然，如果度度熊使用第i个技能打在第j个怪兽上面的话，会使得第j个怪兽的生命值减少p[i]-b[j]，当然如果伤害小于防御，那么攻击就不会奏效。

如果怪兽的生命值降为0或以下，那么怪兽就会被消灭。

当然每个技能都可以使用无限次。

请问度度熊最少携带多少晶石，就可以消灭所有的怪兽。

对于每组测试数据，输出最小的晶石消耗数量，如果不能击败所有的怪兽，输出-1

这是一道完全背包，但是是n个背包，怪兽的生命力不同，防御值也不同，所以没有办法很好的去建立一个模型。

但是生命值1000种，防御值为10种，一共是10000种怪兽，我们求出这10000种怪兽的花费，在乘以该种类怪兽的数量，累加就是答案。这题的极限应该是O(1e9)，但是数据应该不卡时间，所以200ms多就过了。

首先对m种技能进行排序（贪心策略），按防御力从小到大进行排序，防御力相同，花费大的在前（从劣往优排序），两重for，枚举怪物的种类，然后用m种物品更新最小花费。代码如下：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#define LL long long#define P pair<int,int>using namespace std;const int maxn=1e5+100,maxm=1e4+10;int a[maxn],b[maxn];LL f[maxm];P c[maxm];int n,m,ma,mb;namespace std{bool operator < (const pair<int,int> &t,const pair<int,int> &s){    return t.second==s.second?(t.first>s.first):(t.second<s.second);}}LL solve(){    int t=1;    for(int i=2; i<=m; ++i)    {        while(t>0&&c[t].first>c[i].first) --t;        c[++t]=c[i];    }    LL ans=0;    for(int i=0; i<=mb; ++i)    {        for(int j=1; j<=ma; ++j)        {            f[j]=1ll*j*c[t].first;            for(int k=1; k<=t; ++k)                if(c[k].second>i)                    f[j]=min(f[j],f[max(0,j+i-c[k].second)]+c[k].first);        }        for(int j=1; j<=n; ++j)            if(b[j]==i) ans+=f[a[j]];    }    return ans;}int main(){    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)    {        ma=0,mb=0;        for(int i=1; i<=n; ++i)        {            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);            if(a[i]>ma) ma=a[i];            if(b[i]>mb) mb=b[i];        }        for(int i=1; i<=m; ++i)            scanf("%d%d",&c[i].first,&c[i].second);        sort(c+1,c+m+1);        if(c[m].second<=mb)        {            printf("-1\n");            continue;        }        /*                for(int i=1;i<=m;++i)                    printf("%d %d\n",c[i].first,c[i].second);        */        printf("%I64d\n",solve());    }    return 0;}

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