划分树

划分树定义

划分树是一种基于线段树的数据结构。主要用于快速求出(在log(n)的时间复杂度内）序列区间的第k小/大值。划分树的基本思想就是对于某个区间，把它划分成两个子区间，左边区间的数小于右边区间的数。查找的时候通过记录进入左子树的数的个数，确定下一个查找区间，最后范围缩小到1，就找到了。（百度百科）

另外划分树也可以在log(n)的时间复杂度内求出区间比k小的元素之和。

划分树示例

给出上图的序列，现在要构造一个划分树。因为要确定元素之间的大小关系，所以用一个数组sorted来记录排序结果。其中树的0层就是原序列，红色的数字就是较小的元素，将要进入左子树。不断向下递归直到区间长度为1。其中tree[3]层没有7因为上一层区间长度已经到1了，不再递归了。

划分树的建立

对于区间[l，r]，通过排过序的数组找到区间中位数sorted[mid]，小于中位数的进入左子树，大于中位数的进入右子树。递归处理[l，mid]和[mid+1，r]两个子区间即可。对于和中位数相等的元素，如例子中第一个4，在创建子树之前根据公式cnt=(mid-l+1)得到左子树的元素数，然后遍历当前层的节点，执行if(tree[level][i] < sorted[mid]) --cnt; 最终得到的cnt就是要进入左子树的等于中位数的元素数。

int tree[20][maxn], toLeft[20][maxn], sorted[maxn];//tree保存划分树，toLeft数组保存区间到当前位置进入左子树的元素数，sorted保存排序结果ll lsum[20][maxn], tot;//lsum保存区间到当前位置进入左子树的元素和，在需要求和的时候会用到,tot记录结果void build(int level, int l, int r){//当前层次、左边界、右边界     if(l == r)return;    int mid = (l + r) >> 1;    int cnt = mid - l + 1;    for(int i=l; i<=r; ++i){        if(tree[level][i] < sorted[mid]){            --cnt;//统计要进入左子树且等于中位数的元素数        }    }    int lpos = l, rpos = mid + 1;//左右子树的起点    for(int i=l; i<=r; ++i){        if(i == l){            toLeft[level][i] = 0;            lsum[level][i] = 0;        } else {            toLeft[level][i] = toLeft[level][i - 1];            lsum[level][i] = lsum[level][i - 1];        }        if(tree[level][i] < sorted[mid]){//进入左子树            tree[level + 1][lpos++] = tree[level][i];            ++toLeft[level][i];            lsum[level][i] += tree[level][i];        } else if(tree[level][i] > sorted[mid]) {//进入右子树            tree[level + 1][rpos++] = tree[level][i];        } else {            if(cnt){//进入左子树                tree[level + 1][lpos++] = tree[level][i];                ++toLeft[level][i];                lsum[level][i] += tree[level][i];                --cnt;            } else {//进入右子树                tree[level + 1][rpos++] = tree[level][i];            }        }    }    build(level + 1, l, mid);    build(level + 1, mid + 1, r);}

划分树的查询

在区间[ql，qr]内查询第k小数，返回第k小数和区间内小于这个数的元素之和。代码比较简单，主要就是在查询右子树时新的区间需要思考。

//查询区间[ql，qr]内第k小数int query(int level, int l, int r, int ql, int qr, int k){    if(ql == qr){        return tree[level][ql];    }    int s1 = (l == ql ? 0 : toLeft[level][ql - 1]);//s1记录区间[l,rl)内进入左子树的元素数    int s2 = toLeft[level][qr] - s1;//s2记录区间[ql,rl]内进入左子树的元素数    ll s = (l == ql ? lsum[level][qr] : lsum[level][qr] - lsum[level][ql - 1]);    //s计算区间[ql,rl]内进入左子树的元素之和    int mid = (l + r) >> 1;    if(s2 >= k){//s2大于等于k，说明第k小元素进入了左子树，查询左子树        return query(level + 1, l, mid, l + s1, l + s1 + s2 - 1, k);    } else {//否则说明第k小元素进入右子树，查询右子树        tot += s;//最终得到的tot就是小于第k小元素的元素和        return query(level + 1, mid + 1, r, mid + ql - l - s1 + 1, mid - l + qr - s1 - s2 + 1, k - s2);    }}

题目

poj2104 很经典的裸题

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hdu2665 裸题

http://blog.csdn.net/hcx11333/article/details/76854358

hdu4251 裸题

http://blog.csdn.net/hcx11333/article/details/76854859

hdu4417 划分树+二分

http://blog.csdn.net/hcx11333/article/details/76785212

hdu3473 划分树求和，还有中位数的性质

http://blog.csdn.net/hcx11333/article/details/76916166