ACM_博弈入门

一、威佐夫博弈：POJ 1067(威佐夫博弈)

威佐夫博弈（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

威佐夫博弈（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。

证明略。

两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，b = aj + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

以上来自百度百科。

黄金分割数：

const double gold=(sqrt(5)+1)*0.5;

POJ 1067代码：

#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;const double gold=(sqrt(5)+1)*0.5;int main(){    int a,b;    while(~scanf("%d%d",&a,&b)){        if(a>b){            swap(a,b);        }        int k=b-a;        if(floor(k*gold)==a){            printf("0\n");        }        else{            printf("1\n");        }    }    return 0;}

二、巴什博奕 :  HDU 2149

巴什博弈：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物， 规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

对于巴什博弈，那么我们规定，如果最后取光者输，那么又会如何呢？

（n-1）%（m+1）==0则后手胜利

先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的

例如n=15，m=3

后手 先手 剩余

0 2 13

1 3 9

2 2 5

3 1 1

1 0 0

先手胜利 输的人最后必定只抓走一个，如果>1个，则必定会留一个给对手

以上来自百度百科。

HDU 2149代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){    int n,m;    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){        if(n>=m){            if(n%(m+1)!=0){                printf("%d\n",n%(m+1));            }            else{                printf("none\n");            }        }        else{            for(int i=n;i<=m;i++){                printf(i==m?"%d\n":"%d ",i);            }        }    }    return 0;}

以下截取来自AC_Gibson的博客：http://blog.csdn.net/ac_gibson/article/details/41624623

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三.  尼姆博弈（Nimm Game）：

尼姆博弈指的是这样一个博弈游戏：有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。

结论就是：把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为0，那么先手必败，否则先手必胜。

代码如下：

[cpp] view plain copy

1. #include <cstdio>  
2. #include <cmath>  
3. #include <iostream>  
4. using namespace std;  
5. int main()  
6. {  
7.     int n,ans,temp;  
8.     while(cin>>n)  
9.     {  
10.         temp=0;  
11.         for(int i=0;i<n;i++)  
12.         {  
13.             cin>>ans;  
14.             temp^=ans;  
15.         }  
16.         if(temp==0)  cout<<"后手必胜"<<endl;  
17.         else cout<<"先手必胜"<<endl;  
18.     }  
19.     return 0;  
20. }  

四.  斐波那契博弈：

有一堆物品，两人轮流取物品，先手最少取一个，至多无上限，但不能把物品取完，之后每次取的物品数不能超过上一次取的物品数的二倍且至少为一件，取走最后一件物品的人获胜。

结论是：先手胜当且仅当n不是斐波那契数（n为物品总数）

如HDU2516

[cpp] view plain copy

1. #include <iostream>    
2. #include <string.h>    
3. #include <stdio.h>    
4. using namespace std;    
5. const int N = 55;      
6. int f[N];     
7. void Init()    
8. {    
9.     f[0] = f[1] = 1;    
10.     for(int i=2;i<N;i++)    
11.         f[i] = f[i-1] + f[i-2];    
12. }      
13. int main()    
14. {    
15.     Init();    
16.     int n;    
17.     while(cin>>n)    
18.     {    
19.         if(n == 0) break;    
20.         bool flag = 0;    
21.         for(int i=0;i<N;i++)    
22.         {    
23.             if(f[i] == n)    
24.             {    
25.                 flag = 1;    
26.                 break;    
27.             }    
28.         }    
29.         if(flag) puts("Second win");    
30.         else     puts("First win");    
31.     }    
32.     return 0;    
33. }   

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以上截取来自AC_Gibson的博客：http://blog.csdn.net/ac_gibson/article/details/41624623

以下截取来自ac-data的博客：http://blog.csdn.net/lgdblue/article/details/15809893

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五、公平组合博弈（Impartial Combinatori Games）

1、定义：

（1）两人参与。

（2）游戏局面的状态集合是有限。

（3）对于同一个局面，两个游戏者的可操作集合完全相同

（4）游戏者轮流进行游戏。

（5）当无法进行操作时游戏结束，此时不能进行操作的一方算输。

（6）无论游戏如何进行，总可以在有限步数之内结束。

2、模型：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有公平组合游戏（Impartial Combinatori Games）的抽象模型。其实，任何一个ICG都可以通过把每个局势看成一个顶点，对每个局势和它的子局势连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。

3、解决思路：

现在，假定我们给出两个游戏G1 和 G2。如果我们只知道单个游戏的P-状态和N-状态我们能够正确地玩好游戏和G1 + G2吗？答案是否定的。不难看出两个P-状态的和总是P-状态，P-状态和N-状态的和总是N-状态。但是两个N-状态的和既可能是P-状态也可能是N-状态。因此，只知道单个游戏的P-状态和N-状态是不够的。

为了正确地玩好游戏和我们需要推广P-状态和N-状态，它就是Sprague-Grudy函数（或者简称为g函数）

4、Sprague-Grudy定理：

令N = {0, 1, 2, 3, ...} 为自然数的集合。Sprague-Grundy 函数给游戏中的每个状态分配了一个自然数。结点v的Grundy值等于没有在v的后继的Grundy值中出现的最小自然数.

形式上：给定一个有限子集 S ⊂ N,令mex S(最小排斥值)为没有出现在S中的最小自然数。定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

5、性质：

（1）所有的终结点所对应的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集——所有终结点是必败点（P点）。

（2）对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0——无论如何操作，从必败点（P点）都只能进入必胜点（N点）//对手走完又只能把N留给我们。

（3）对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继点y满足g(y)=0——从任何必胜点（N点）操作，至少有一种方法可以进入必败点（P点）//就是那种我们要走的方法。

6、应用：

（1）可选步数为1-m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1); 

（2）可选步数为任意步，SG(x) = x; 

（3）可选步数为一系列不连续的数，用mex(计算每个节点的值) 

7、练习：hdoj 1847 1536 3980

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以上截取来自ac-data的博客：http://blog.csdn.net/lgdblue/article/details/15809893