博弈问题入门

博弈问题简介

我们所讨论的博弈问题满足以下条件：

1. 玩家只有两个人，轮流做出决策
2. 游戏的状态集有限，保证游戏在有限步后结束，这样必然会产生不能操作者，其输
3. 对任何一种局面，胜负只决定于局面本身，而与轮到哪位选手无关

一般称满足以上条件的游戏称为ICG，比如我们将要讨论的Nim游戏。作为一个对比，我们平时玩的象棋就不属于ICG，因为它不满足第三条。

ICG具有两个状态，我们称为必胜态和必败态，他们的关系：

1. 后继状态能达到必败的状态为必胜态
2. 所有后继状态都不为必败态，则其为必败态

第二条也可以换一种说法：后继状态都是必胜态，则其为必败态。
所以我们可以看出一个状态不是必胜态，就是必败态。

Nim游戏

• 例一

有一堆石子，两个人轮流从石子堆中拿走任意数量的石子，但不能不拿。谁不能拿谁为输。

显然，这个游戏中只要先手把所有石子都拿完，那么后手就一定输了。因为此时没有石子，后手无法进行合法的操作。

• 例二

有两堆石子，分别为a,b个石子，每个玩家只能选一堆，然后拿走任意正整数个石子，谁不能拿谁输。

我们先讨论一个特殊情况，即：a=b时，此时后手是必胜的。此时不管先手怎么操作，我们只要选择与先手不同的那堆，然后进行与先手相同的操作即可。

这里a=b即为我们所说的必败态。而当a≠b时，我们肯定可以拿比较多的那堆，使之和少的那堆数量相等，此时我们就必胜了，所以此时就为必胜态。

• 例三

当有三堆，数量分别为a,b,c时，我们就比较不好分析了。当然我们可以直接搜索得到最后结果，但是当我们拓展到n堆时，此时我们搜索也变得不可行了。

于是我们有了一个强大的工具：sg函数

sg函数

sg函数为以下形式：

SG(x)=mex(S)

• S表示x的所有后继状态
• mex表示不在集合里最小的非负整数
• 必败态的sg值为0

然后还要结合sg定理：

游戏和的SG函数等于各个子游戏SG函数的Nim和

于是就可以把各个子游戏分而治之。

举个例子

假设我们用sg函数处理上述所说的例二，我们就可以把游戏分为两个单堆Nim子游戏。对于单堆的Nim游戏，如果我们可以取任意正整数多个，那么很容易就可以明，sg(x)=x。那么我们整个游戏的必败态则为sg1(x)∧sg2(x)=0，显然只有当a=b时游戏为必败态，和我们的讨论结果一致。

以下是一段关于sg定理的证明：

• 对于必胜状态，一定存在后继的必败态

我们假设现在的Nim和为X，现在的最大的一堆的数量为Y，那么我们只需要把这最大的一堆取成Z=X∧Y即可。因为除了最大的这堆外其他的Nim和为X∧Y，因此我们取完后，现在的Nim和即为sg′(X)=X∧Y∧(X∧Y)=0，显然为必败态了。而且我们也可以保证Z≤Y，即我们总有办法实现它。

• 对于必败态，它的所有后继状态都是必胜的

由于只能更改一堆的状态，无论哪一位的1被改变，那么原来那位上1的奇偶个数一定会改变，所以就会变为必胜态。

拓展

其他的几种博弈

Chomp游戏

有一个n∗m的棋盘，每次可以取走一个方格并拿掉它右边和上面的所有方格。拿到左下角(1,1)的选手输。

结论：答案是除了1*1的棋盘，对于其他大小的棋盘，先手总能赢。

证明如下：

如果后手能赢，也就是说后手有必胜策略，使得无论先手第一次取哪个石子，后手都能获得最后的胜利。那么现在假设先手取最右上角的石子(n,m)，接下来后手通过某种取法使得自己进入必胜的局面。但事实上，先手在第一次取的时候就可以和后手这次取的一样，进入必胜局面了，与假设矛盾。

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约数游戏

约数游戏：有1~n个数字，两个人轮流选择一个数字，并把它和它的约数擦去。擦去最后一个数的人赢，问谁会获胜。

分析：类似巧克力游戏，得到结论就是无论n是几，都是先手必胜。

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巴什博奕（Bash Game）

规定有一堆物品，两个人轮流从中拿取，要求最少拿1个，最多m个。最后无法拿取的人败。

这个问题先手只要能一直维护总数是m+1的倍数即可，否则先手必败。

一个相似的玩法是两个人轮流报数，一次最少报1个，最多报m个，谁能报到100谁胜，原理与上述相同。

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威佐夫博奕（Wythoff Game）

有两堆若干物品，一次可以从一堆拿任意多的物品或同时从两堆拿同样多的物品。最后不能拿的人输。

经过打表会发现前几组必败态的规律：

第0组:a0=0,b0=0

第1组:a1=1,b1=2

第2组:a2=3,b2=5

第3组:a3=4,b3=7

我们会发现对于奇异局势有： bi=ai+i
可以证明出，对于所有非奇异局势，其为必胜态。
判断是否是奇异局势的方法如下：

ai=i∗1+5√2,bi=ai+i

如存在非负整数i使上述条件成立，那么其为奇异局势，即必败态。
很神奇的是其中出现了黄金分割。

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几种模型

楼梯Nim

非常神奇的一种题目。

就是把楼梯上的棋子两两绑定，他们之间的距离看成是一堆石子，于是就等同于我们之前讨论的经典Nim游戏了。

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Moore’s Nimk

广义的Nim游戏。

有n堆石子，每次最少选一堆，最多选m堆，每堆都可以拿任意正整数个石子。

我们把每堆石子都写成二进制的形式，然后从低位到高位求每一位1的和。如果每一位1的和sum%(m+1)=0，此时为必败态。

显然，当m=1时就变成了我们最开始所讨论的最基础的Nim游戏了。

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翻硬币游戏

这类题目比较复杂，一般打表找规律，否则例如本渣就直接gg。

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图的删边游戏

比上面的更复杂，不会。（会了再回来更新囧）