RMQ算法

RMQ

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。 当然还有别的方法可以选择，例如线段树。

RMQ算法是一种比较高效的在线算法（ST算法）。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

RMQ主要思想是分治，倍增与动态规划。

(一)先进行预处理，用动态规划完成

设A[i]为要求最值的数列，F[i,j]用来表示从第i个数开始连续2^j个数的最大值。(DP的状态)

A={2，4，3，7，6，1，9，5}

F[1,0] 是指从第一个数开始连续 2^0次方个数，即就是2这个数。F（1，1）=max(2,4) ; F[i,0]=A[i] (DP的初值）；接下来就该状态转移方程了。我们把F[i，j] 平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是2，4，3，7 和 6，1，9，5这两段。F[i，j] 就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

RMQ算法不过是从首部先相邻的元素取最值，然后再扩大在这些最值里面。

代码：

void RMQ(int n){for(int i=1;i<=n;i++)maxn[i][0]=minn[i][0]=num[i];for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){maxn[i][j]=max(maxn[i][j-1],maxn[i+(1<<(j-1))][j-1]);minn[i][j]=min(minn[i][j-1],minn[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

（二）查询

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

代码：(函数形式)

 int rmp(int l,int r){ int k=0; while((1<<(k+1))<=r-l+1)  k++;//寻找最小幂 intans1=max(maxn[l][k],maxn[r-(1<<k)+1][k]); intans2=min(minn[l][k],minn[r-(1<<k)+1][k]); return ans1-ans2; }

或

    scanf("%d%d",&l,&r);          int s = (int)(log(r-l+1)/log(2));          int ans1 = max(maxn[l][k],maxn[r-(1<<k)+1][k]);          int ans2 = min(minn[l][k],minn[r-(1<<k)+1][k]);          printf("%d\n",ans1 - ans2);  

在这里我们也需要注意一个地方，就是<<运算符和+-运算符的优先级。

比如这个表达式：5 - 1 << 2是多少？

答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

例题：http://blog.csdn.net/bbhhtt/article/details/76946344

借用，参考博客：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6624672