数据结构：图的存储、图的遍历、最小生成树、最短路径、拓扑排序

一、基本术语

图：由有穷、非空点集和边集合组成，简写成G(V,E);

Vertex：图中的顶点；

无向图：图中每条边都没有方向；

有向图：图中每条边都有方向；

无向边：边是没有方向的，写为(a,b)

有向边：边是有方向的，写为<a,b>

有向边也成为弧；开始顶点称为弧尾，结束顶点称为弧头；

简单图：不存在指向自己的边、不存在两条重复的边的图；

无向完全图：每个顶点之间都有一条边的无向图；

有向完全图：每个顶点之间都有两条互为相反的边的无向图；

稀疏图：边相对于顶点来说很少的图；

稠密图：边很多的图；

权重：图中的边可能会带有一个权重，为了区分边的长短；

网：带有权重的图；

度：与特定顶点相连接的边数；

出度、入度：对于有向图的概念，出度表示此顶点为起点的边的数目，入度表示此顶点为终点的边的数目；

环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；

简单环：除去第一个顶点和最后一个顶点后没有重复顶点的环；

连通图：任意两个顶点都相互连通的图；

极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；

连通分量：极大连通子图的数量；

强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；

生成树：n个顶点，n-1条边，并且保证n个顶点相互连通（不存在环）；

最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；

AOV网：结点表示活动的网；

AOE网：边表示活动的持续时间的网；

二、图的存储结构

1.邻接矩阵

维持一个二维数组，arr[i][j]表示i到j的边，如果两顶点之间存在边，则为1，否则为0；

维持一个一维数组，存储顶点信息，比如顶点的名字；

下图为一般的有向图：

注意：如果我们要看vi节点邻接的点，则只需要遍历arr[i]即可；

 下图为带有权重的图的邻接矩阵表示法：

 

缺点：邻接矩阵表示法对于稀疏图来说不合理，因为太浪费空间； 

2.邻接表

如果图示一般的图，则如下图：

 如果是网，即边带有权值，则如下图：

3.十字链表

只针对有向图；，适用于计算出度和入度；

顶点结点：

 

边结点：

 

好处：创建的时间复杂度和邻接链表相同，但是能够同时计算入度和出度；

4.邻接多重表

针对无向图； 如果我们只是单纯对节点进行操作，则邻接表是一个很好的选择，但是如果我们要在邻接表中删除一条边，则需要删除四个顶点（因为无向图）；

在邻接多重表中，只需要删除一个节点，即可完成边的删除，因此比较方便；

因此邻接多重表适用于对边进行删除的操作；

顶点节点和邻接表没区别，边表节点如下图：

比如：

 

5.边集数组

适合依次对边进行操作；

存储边的信息，如下图：

三、图的遍历

DFS

思想：往深里遍历，如果不能深入，则回朔；

比如：

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print?

1. /** 
2.  * O(v+e) 
3.  */  
4. @Test  
5. public void DFS() {  
6.     for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {  
7.         if (!visited[i]) {  
8.             DFS_Traverse(g, i);  
9.         }  
10.     }  
11. }  
12.   
13. private void DFS_Traverse(Graph2 g, int i) {  
14.     visited[i] = true;  
15.     System.out.println(i);  
16.     EdgeNode node = g.nodes[i].next;  
17.     while (node != null) {  
18.         if (!visited[node.idx]) {  
19.             DFS_Traverse(g, node.idx);  
20.         }  
21.         node = node.next;  
22.     }  
23. }  

    /**     * O(v+e)     */    @Test    public void DFS() {        for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {            if (!visited[i]) {                DFS_Traverse(g, i);            }        }    }    private void DFS_Traverse(Graph2 g, int i) {        visited[i] = true;        System.out.println(i);        EdgeNode node = g.nodes[i].next;        while (node != null) {            if (!visited[node.idx]) {                DFS_Traverse(g, node.idx);            }            node = node.next;        }    }

BFS

思想：对所有邻接节点遍历；

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print?

1. <span style=“white-space:pre”>  </span>/** 
2.      * O(v+e) 
3.      */  
4.     @Test  
5.     public void BFS() {  
6.         ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();  
7.         for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {  
8.             if (!visited[i]) {  
9.                 visited[i] = true;  
10.                 list.add(i);  
11.                 System.out.println(i);  
12.                 while (!list.isEmpty()) {  
13.                     int k = list.remove(0);  
14.                     EdgeNode current = g.nodes[k].next;  
15.                     while (current != null) {  
16.                         if (!visited[current.idx]) {  
17.                             visited[current.idx] = true;  
18.                             System.out.println(current.idx);  
19.                             list.add(current.idx);  
20.                               
21.                         }  
22.                         current = current.next;  
23.                     }  
24.                 }  
25.   
26.             }  
27.         }  
28.     }  

    /**     * O(v+e)     */    @Test    public void BFS() {        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();        for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {            if (!visited[i]) {                visited[i] = true;                list.add(i);                System.out.println(i);                while (!list.isEmpty()) {                    int k = list.remove(0);                    EdgeNode current = g.nodes[k].next;                    while (current != null) {                        if (!visited[current.idx]) {                            visited[current.idx] = true;                            System.out.println(current.idx);                            list.add(current.idx);                        }                        current = current.next;                    }                }            }        }    }

四、最小生成树

prim

邻接矩阵存储；

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print?

1. <span style=“white-space:pre”>  </span>/** 
2.      * 时间复杂度为O(n^2) 
3.      * 适用于稠密图 
4.      */  
5.     @Test  
6.     public void prim(){  
7.         int cost[] = new int[9];  
8.         int pre[] = new int[9];  
9.           
10.         for(int i=0;i<g1.vertex.length;i++){  
11.             cost[i] = g1.adjMatrix[0][i];  
12.         }  
13.         cost[0] = 0;  
14.           
15.         for(int i=1;i<g1.vertex.length;i++){  
16.             int min = 65536;  
17.             int k = 0;  
18.             for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){  
19.                 if(cost[j]!=0&&cost[j]<min){  
20.                     min = cost[j];  
21.                     k = j;  
22.                 }  
23.             }  
24.             cost[k] = 0;  
25.             System.out.println(pre[k]+”,”+k);  
26.             for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){  
27.                 if(cost[j]!=0&&g1.adjMatrix[k][j]<cost[j]){  
28.                     pre[j] = k;  
29.                     cost[j] = g1.adjMatrix[k][j];  
30.                 }  
31.             }  
32.         }  
33.     }  

   /**     * 时间复杂度为O(n^2)     * 适用于稠密图     */    @Test    public void prim(){        int cost[] = new int[9];        int pre[] = new int[9];        for(int i=0;i<g1.vertex.length;i++){            cost[i] = g1.adjMatrix[0][i];        }        cost[0] = 0;        for(int i=1;i<g1.vertex.length;i++){            int min = 65536;            int k = 0;            for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){                if(cost[j]!=0&&cost[j]<min){                    min = cost[j];                    k = j;                }            }            cost[k] = 0;            System.out.println(pre[k]+","+k);            for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){                if(cost[j]!=0&&g1.adjMatrix[k][j]<cost[j]){                    pre[j] = k;                    cost[j] = g1.adjMatrix[k][j];                }            }        }    }

krustral

边集数组存储；

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print?

1. <span style=“white-space:pre”>  </span>/** 
2.      * 时间复杂度：O(eloge) 
3.      * 适用于稀疏图 
4.      */  
5.     @Test  
6.     public void krustral(){  
7.         Edge[] edges = initEdges();  
8.         int parent[] = new int[9];  
9.         for(int i=0;i<edges.length;i++){  
10.             Edge edge = edges[i];  
11.             int m = find(parent,edge.begin);  
12.             int n = find(parent,edge.end);  
13.             if(m!=n){  
14.                 parent[m] = n;  
15.                 System.out.println(m+”,”+n);  
16.             }  
17.         }  
18.           
19.     }  
20.     private static int find(int[] parent, int f) {  
21.         while (parent[f] > 0) {  
22.             f = parent[f];  
23.         }  
24.         return f;  
25.     }  

  /**     * 时间复杂度：O(eloge)     * 适用于稀疏图     */    @Test    public void krustral(){        Edge[] edges = initEdges();        int parent[] = new int[9];        for(int i=0;i<edges.length;i++){            Edge edge = edges[i];            int m = find(parent,edge.begin);            int n = find(parent,edge.end);            if(m!=n){                parent[m] = n;                System.out.println(m+","+n);            }        }    }    private static int find(int[] parent, int f) {        while (parent[f] > 0) {            f = parent[f];        }        return f;    }

五、最短路径

dijkstra算法

邻接矩阵存储；

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print?

1. <span style=“white-space:pre”>  </span>//O（n^2）  
2.     @Test  
3.     public void Dijkstra(){  
4.         int distance[] = new int[9];  
5.         int pre[] = new int[9];  
6.         boolean finished[] = new boolean[9];  
7.         finished[0] = true;  
8.         for(int i=0;i<9;i++){  
9.             distance[i] = g1.adjMatrix[0][i];  
10.         }  
11.         int k = 0;  
12.         for(int i=1;i<9;i++){  
13.             int min = 65536;  
14.             for(int j=0;j<9;j++){  
15.                 if(!finished[j]&&distance[j]<min){  
16.                     min = distance[j];  
17.                     k = j;  
18.                 }  
19.             }  
20.             finished[k] = true;  
21.             System.out.println(pre[k]+”,”+k);  
22.             for(int j=1;j<9;j++){  
23.                 if(!finished[j]&&(min+g1.adjMatrix[k][j])<distance[j]){  
24.                     distance[j] = min+g1.adjMatrix[k][j];  
25.                     pre[j] = k;  
26.                 }  
27.             }  
28.         }  
29.     }  

 //O（n^2）    @Test    public void Dijkstra(){        int distance[] = new int[9];        int pre[] = new int[9];        boolean finished[] = new boolean[9];        finished[0] = true;        for(int i=0;i<9;i++){            distance[i] = g1.adjMatrix[0][i];        }        int k = 0;        for(int i=1;i<9;i++){            int min = 65536;            for(int j=0;j<9;j++){                if(!finished[j]&&distance[j]<min){                    min = distance[j];                    k = j;                }            }            finished[k] = true;            System.out.println(pre[k]+","+k);            for(int j=1;j<9;j++){                if(!finished[j]&&(min+g1.adjMatrix[k][j])<distance[j]){                    distance[j] = min+g1.adjMatrix[k][j];                    pre[j] = k;                }            }        }    }

Floyd

使用：

(1)邻接矩阵：存储图；

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print?

1. <span style=“white-space:pre”>  </span>/** 
2.      * O(n^3) 
3.      * 求出任意顶点之间的距离 
4.      */  
5.     @Test  
6.     public void floyd(Graph1 g) {  
7.         int i, j, k;  
8.         int length = g.vertex.length;  
9.         int dist[][] = new int[length][length];  
10.         int pre[][] = new int[length][length];  
11.         for (i = 0; i < g.vertex.length; i++) {  
12.             for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {  
13.                 pre[i][j] = j;  
14.                 dist[i][j] = g.adjMatrix[i][j];  
15.             }  
16.         }  
17.         for (i = 0; i < length; i++) {  
18.             for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {  
19.                 for (k = 0; k < g.vertex.length; k++) {  
20.                     if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {  
21.                         dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];  
22.                         pre[i][j] = pre[i][k];  
23.                     }  
24.                 }  
25.             }  
26.   
27.         }  
28.         System.out.println();  
29.     }  

    /**     * O(n^3)     * 求出任意顶点之间的距离     */    @Test    public void floyd(Graph1 g) {        int i, j, k;        int length = g.vertex.length;        int dist[][] = new int[length][length];        int pre[][] = new int[length][length];        for (i = 0; i < g.vertex.length; i++) {            for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {                pre[i][j] = j;                dist[i][j] = g.adjMatrix[i][j];            }        }        for (i = 0; i < length; i++) {            for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {                for (k = 0; k < g.vertex.length; k++) {                    if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {                        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];                        pre[i][j] = pre[i][k];                    }                }            }        }        System.out.println();    }

六、拓扑排序

使用数据结构：

(1)栈：用来存放入度为0的节点；

(2)变种邻接列表：作为图的存储结构；此邻接列表的顶点节点还需要存放入度属性；

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print?

1. /** 
2. * O(n+e) 
3. */  
4. private static String topologicalSort(Graph2 g2) {  
5.         Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();  
6.         int count = 0;  
7.         for(int i=0;i<g2.nodes.length;i++){  
8.             if(g2.nodes[i].indegree==0){  
9.                 s.push(i);  
10.             }  
11.         }  
12.         while(!s.isEmpty()){  
13.             int value = s.pop();  
14.             System.out.println(value+”、”);  
15.             count++;  
16.             EdgeNode node = g2.nodes[value].next;  
17.             while(node!=null){  
18.                 g2.nodes[node.idx].indegree–;  
19.                 if(g2.nodes[node.idx].indegree==0){  
20.                     s.push(node.idx);  
21.                 }  
22.                 node = node.next;  
23.             }  
24.               
25.         }  
26.         if(count<g2.nodes.length){  
27.             return “error”;  
28.         }  
29.         return “ok”;  
30.     }  

/*** O(n+e)*/private static String topologicalSort(Graph2 g2) {        Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();        int count = 0;        for(int i=0;i<g2.nodes.length;i++){            if(g2.nodes[i].indegree==0){                s.push(i);            }        }        while(!s.isEmpty()){            int value = s.pop();            System.out.println(value+"、");            count++;            EdgeNode node = g2.nodes[value].next;            while(node!=null){                g2.nodes[node.idx].indegree--;                if(g2.nodes[node.idx].indegree==0){                    s.push(node.idx);                }                node = node.next;            }        }        if(count<g2.nodes.length){            return "error";        }        return "ok";    }

七、关键路径

使用数据结构：

(1)变种邻接列表：同拓扑排序；

(2)变量：

ltv表示某个事件的最晚开始时间；

etv表示事件最早开始时间；

ete表示活动最早开始时间；

lte表示活动最晚开始时间；

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1. <span style=“white-space:pre”>  </span>//O（n+e）  
2. <span style=”white-space:pre”>  </span>@Test  
3.     public void CriticalPath(){  
4.           
5.         Stack<Integer> stack = topological_etv();  
6.         int length = stack.size();  
7.         if(stack==null){  
8.             return ;  
9.         }  
10.         else{  
11.             int[]ltv = new int[length];  
12.             for(int i=0;i<stack.size();i++){  
13.                 ltv[i] = etv[stack.size()-1];  
14.             }  
15.             //从拓扑排序的最后开始计算ltv  
16.             while(!stack.isEmpty()){  
17.                 int top = stack.pop();  
18.                 EdgeNode current = g.nodes[top].next;  
19.                 while(current!=null){  
20.                     int idx = current.idx;  
21.                     //最晚发生时间要取所有活动中最早的  
22.                     if((ltv[idx]-current.weight)<ltv[top]){  
23.                         ltv[top] = ltv[idx]-current.weight;  
24.                     }  
25.                 }  
26.             }  
27.             int ete = 0;  
28.             int lte = 0;  
29.             for(int j=0;j<length;j++){  
30.                 EdgeNode current = g.nodes[j].next;  
31.                 while(current!=null){  
32.                     int idx = current.idx;  
33.                     ete = etv[j];  
34.                     lte = ltv[idx]-current.weight;  
35.                     if(ete==lte){  
36.                         //是关键路径  
37.                     }  
38.                 }  
39.             }  
40.               
41.         }  
42.           
43.           
44.     }  
45.     private Stack<Integer> topological_etv(){  
46.         Stack<Integer> stack2 = new Stack<Integer>();  
47.         Stack<Integer>stack1 = new Stack<Integer>();  
48.         for(int i=0;i<g.nodes.length;i++){  
49.             if(g.nodes[i].indegree==0){  
50.                 stack1.add(i);  
51.             }  
52.         }  
53.         etv[] = new int[g.nodes.length];  
54.         int count = 0;  
55.         while(!stack1.isEmpty()){  
56.             int top = stack1.pop();  
57.             count++;  
58.             stack2.push(top);  
59.               
60.             EdgeNode current = g.nodes[top].next;  
61.             while(current!=null){  
62.                 int idx = current.idx;  
63.                 if((–g.nodes[idx].indegree)==0){  
64.                     stack1.push(idx);  
65.                 }  
66.                 if((etv[top]+current.weight)>etv[idx]){  
67.                     etv[idx] = etv[top]+current.weight;  
68.                 }  
69.                 current = current.next;  
70.             }  
71.         }  
72.         if(count<g.nodes.length){  
73.             return null;  
74.         }  
75.         return stack2;  
76.     }  

  //O（n+e）  @Test    public void CriticalPath(){        Stack<Integer> stack = topological_etv();        int length = stack.size();        if(stack==null){            return ;        }        else{            int[]ltv = new int[length];            for(int i=0;i<stack.size();i++){                ltv[i] = etv[stack.size()-1];            }            //从拓扑排序的最后开始计算ltv            while(!stack.isEmpty()){                int top = stack.pop();                EdgeNode current = g.nodes[top].next;                while(current!=null){                    int idx = current.idx;                    //最晚发生时间要取所有活动中最早的                    if((ltv[idx]-current.weight)<ltv[top]){                        ltv[top] = ltv[idx]-current.weight;                    }                }            }            int ete = 0;            int lte = 0;            for(int j=0;j<length;j++){                EdgeNode current = g.nodes[j].next;                while(current!=null){                    int idx = current.idx;                    ete = etv[j];                    lte = ltv[idx]-current.weight;                    if(ete==lte){                        //是关键路径                    }                }            }        }    }    private Stack<Integer> topological_etv(){        Stack<Integer> stack2 = new Stack<Integer>();        Stack<Integer>stack1 = new Stack<Integer>();        for(int i=0;i<g.nodes.length;i++){            if(g.nodes[i].indegree==0){                stack1.add(i);            }        }        etv[] = new int[g.nodes.length];        int count = 0;        while(!stack1.isEmpty()){            int top = stack1.pop();            count++;            stack2.push(top);            EdgeNode current = g.nodes[top].next;            while(current!=null){                int idx = current.idx;                if((--g.nodes[idx].indegree)==0){                    stack1.push(idx);                }                if((etv[top]+current.weight)>etv[idx]){                    etv[idx] = etv[top]+current.weight;                }                current = current.next;            }        }        if(count<g.nodes.length){            return null;        }        return stack2;    }