【概率与期望】练习题

题目描述

Robert站在原点，手握两枚质量不均匀的硬币。抛掷第一枚正面朝上的概率为p，抛掷第二枚正面朝上的概率为q。
Robert开始抛掷第一枚硬币，每次抛到反面就往x轴正方向走一步，直到抛到正面。
接下来Robert继续抛掷第一枚硬币，每次抛到反面就往y轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在Robert想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，抛到正面就往x轴负方向走一步，抛到反面就往y轴负方向走一步。
求Robert回到原点的概率。

题目分析

走到任意点(x,y)的概率是(1−p)x+y∗p2
从(x,y)再走回原点的概率是qx∗(1−q)y∗Cxx+y
所以：
ans=∑oox=0∑ooy=0(1−p)x+y∗p2∗qx∗(1−q)y∗Cxx+y
现在我们枚举x+y和x：
ans=∑ooi=0∑ix=0(1−p)i∗p2∗qx∗(1−q)i−x∗Cxi
=∑ooi=0p2(1−p)i∑ix=0qx∗(1−q)i−x∗Cxi
=∑ooi=0p2(1−p)i((1−q)i∑ix=0(q1−q)x∗Cxi)
根据二项式定理可得：
=∑ooi=0p2(1−p)i((1−q)i∗(q1−q+1)i)
=p2∑ooi=0(1−p)i
假设S=∑ooi=0(1−p)i
那么(1−p)S=∑ooi=1(1−p)i
上式减下式可得：
S=1p
所以答案就是p。