概率与期望

概率公理:
满足下列3个条件的函数称为概率函数
(1)0<=P(A)<=1
(2)P(S)=1
(3)如果A1A2A3⋯是一系列两两无关的事件，即对于∀i≠j,Ai⋂Aj=∅,则

P(⋃k=1∞Ak)=∑k=1∞P(Ak)

(可列可加性)

条件概率：
令B为一个事件满足P(A)>0,对于任一事件B,定义B的关于A的条件概率(事件A发生条件下，事件B发生的概率)

P(B|A)=P(A⋂B)P(A)

独立：
如果A,B满足P(A⋂B)=P(A)P(B),称A,B独立
可以推出P(A)=P(A|B)

全概率公式：<求结果概率>
设B1B2B3⋯Bn是样本空间S中互不相交的一系列事件，并且满足和为全集，即S=⋃nk=1Bk,且P(Bi)>0,则对任意事件A有

P(A)=∑k=1nP(A|Bk)P(Bk)

特别的，对于任意两随机事件A和B，有

P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A¯¯¯)P(A¯¯¯)

贝叶斯定理：<求原因概率>

P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)∑nj=1P(Bj)P(A|Bj)

P(Bi)叫先验概率，P(Bi|A)叫后验概率

随机变量：
在样本空间 S 上的一个随机变量 X 是 S 上的一个取值为实数的函数。只取有限个或可数无穷多个值的随机变量称为离散随机变量。

数学期望：（均指离散型）
对于有限的离散型随机变量 X，假设 X 有概率分布 pj=P(X=xj),则称E(X)=∑nj=1xjpj(要求绝对收敛)为 X 的数学期望，其中 n 为 X 不同取值的个数

方差：
D(X)=E(X−E(X))2

标准差：
σx=D(X)−−−−−√

伯努利概型:(满足二项分布)
(1)在一组固定不变的条件下重复地做一种实验
(2)只有两种结果：事件发生或不发生
(3)每次实验中，相同事件发生的概率均一样
(4)各次实验结果相互独立
设 p 为每次实验 A 发生的概率，Pn(k)表示n重伯努利实验中 A 出现 k (0 <= k <= n)的概率，则Pn(k)=Cknpk(1−p)n−k

二项分布：
在上述条件下，设 X 为 n 次独立重复实验中成功出现的次数，X = (0,1,…n)，且它的概率函数为

σ=np(1−p)−−−−−−−−√P(X=x)=(nx)px(1−p)n−x

这个分布称为二项分布，记为X~B(n,p)
期望:E(X)=np
方差:D(X)=np(1−p)
标准差:σ=np(1−p)−−−−−−−−√

两点分布：
特殊的二项分布

P(X=0)=1−p , P(X=1)=p

p称为成功概率
期望:E(X)=p
方差:D(X)=p(1−p)

几何分布：
事件 A 在第 k 次试验中才首次发生的概率为p(1−p)k−1
有方程：

E(X)=p+(1−p)(E(X)+1)

期望:E(X)=1p
方差:D(X)=1−pp2

超几何分布：
在有M件次品的N件产品中，不放回的取出n件，其中含有X件次品

P(X=k)=CkMCn−kN−MCnN

记作X~H(n,M,N)
期望:E(X)=nMN
方差:D(X)=nMN−(nMN)2+n(n−1)M(M−1)N(N−1)

正态分布：

f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2

f(x)称为正态分布密度曲线
记作X~N(μ,σ2)
期望:μ
方差:σ2
P(μ−σ<X<=μ+σ)=0.6826
P(μ−2σ<X<=μ+2σ)=0.9544
P(μ−3σ<X<=μ+3σ)=0.9974

期望的线性性：
(1) E(c)=c
(2) E(cX)=cE(X)
(3) E(∑ni=1xi)=∑ni=1E(xi)
(4) E(XY)=E(x)E(Y) (充分条件：X、Y独立，充要条件：X、Y不相关)

方差的性质：
(1) D(c)=0
(2) D(aX+b)=a2D(X)
(3) D(X)=E(X2)−E2(X)
(4) D(X±Y)=D(X)+D(Y) (充分条件：X、Y独立，充要条件：X、Y不相关)

马尔科夫不等式：
假设X是只取非负数值的随机变量，对∀a>0,有

P(X>=a)<=E(X)a

切比雪夫不等式：
对任意随机变量X及任意a > 0,有

P(|X−E(X)|>=a)<=D(X)a2

统计乱入，，，
三种抽样方法：随机抽样、系统抽样、分层抽样
茎叶图（略）
众数：出现次数最多的数(可能是多个)//最高矩形底边中点的横坐标
中位数：最中间的一个数（最中间两个数的平均数）//中位数左右直方图面积相等
平均数：小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
极差：又称全距，极差 = 组数 * 组距
最小二乘法：
回归直线方程一定经过样本点的中心

==========题外话===========

看了一整天啊QAQ，还是什么都不会啊TAT

今天中午吃饭看见含爷了好开心~好开心~好开心~

一群大爷在切PE上的期望神题orz。。。