[bzoj2005][莫比乌斯反演][Noi2010]能量采集

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列
有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，
表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了
一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20
棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能
量损失。
Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

Source

sol:
容易发现2(gcd(i,j)-1)+1为题目所求。
题目要求
−mn+2∗∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)

∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)

=∑∑∑d|gcd(i,j)ϕ(d)

=∑dϕ(d)∗⌊nd⌋∗⌊md⌋

(gcd(i,j)为d倍数时提供ϕ(d)的贡献

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<string>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<iostream>using namespace std;typedef long long ll;int n,m;inline int read(){    char c;    int res,flag=0;    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-')flag=1;    res=c-'0';    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';    return flag?-res:res;}const int N=110000;int prime[N],phi[N];bool is[N];ll ans;int main(){//  freopen("2005.in","r",stdin);//  freopen(".out","w",stdout);    n=read();    m=read();    if(n<m) swap(n,m);    phi[1]=1;    for(int i=2;i<=n;++i)    {        if(!is[i])        {            prime[++prime[0]]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)        {            is[i*prime[j]]=1;            if(!(i%prime[j]))            {                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);        }    }    for(int d=1;d<=n;++d)        ans+=(ll)(n/d)*(m/d)*phi[d];    ans*=2;    ans-=(ll)n*m;    cout<<ans;}