bzoj 3994: [SDOI2015]约数个数和

题意：求

∑ni∑mjd(ij)

d(n)为n的约数个数。

题解：

首先要知道一个结论：

d(nm)=∑i|ni∑j|nj[gcd(i,j)=1]

那么这个东西怎么证明呢
首先假设质数p在n中指数为k1，m中k2。
根据d函数的求法d（n）=∏ik(pi+1)
所以p对d(nm)的贡献为（k1+k2+1）
因为要gcd(i,j)=1所以p在i,j中指数可以是(k1,0),(k1−1,0)...(0,0)...(0,k2)
共(k1+k2+1)种。
那所有符合条件的对数，根据乘法原理，就是∏ik(pi+1)
所以可以变成

∑ni∑mj⌊ni⌋⌊mj⌋[gcd(i,j)=1]

然后莫比乌斯反演搞搞就好了。
code：

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>#define LL long longusing namespace std;int mu[50010],prime[50010],pr=0;LL f[50010];bool v[50010];void pre(){    memset(v,true,sizeof(v));    mu[1]=1;    for(int i=2;i<=50000;i++)    {        if(v[i]) prime[++pr]=i,mu[i]=-1;        for(int j=1;j<=pr&&i*prime[j]<=50000;j++)        {            v[i*prime[j]]=false;            if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}            mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }    }    for(int k=1;k<=50000;k++)    {        mu[k]+=mu[k-1];        int pos;        for(int i=1;i<=k;i=pos+1)        {            pos=k/(k/i);            f[k]+=(LL)(pos-i+1)*(LL)(k/i);        }    }}int main(){    pre();    int T;scanf("%d",&T);    while(T--)    {        int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);        if(n>m) swap(n,m);        LL ans=0,pos;        for(int i=1;i<=n;i=pos+1)        {            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));            ans+=(LL)(mu[pos]-mu[i-1])*f[n/i]*f[m/i];        }        printf("%lld\n",ans);    }}