【BZOJ】T3240 矩阵游戏

题目描述

F[1][1]=1

F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)

F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)

求F[n,m]%1000000007的值

NOI2013

单纯的前50分，可以作为矩阵乘法的模板题，根据二维递推式构造矩阵，快速幂加速递推即可。

对于后30分，可以使用高精度除法，支持除以二的操作即可。

以上随便搞一搞就可以过了（手动@starria）

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AC做法#1

黑科技：十进制快速幂！

感觉很容易被卡常，但是仍然有神犇A掉了，想必一定是用了常数极小的矩阵快速幂吧233

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AC做法#2

可以推导一下通项公式，之后费马小定理+快速幂秒过对不对！

但是！

费马小定理处理n和m的正确性当且仅当n,m在通项公式中作为指数出现，换句话说，当矩阵的递推元素构成等差数列时，n和m作为系数出现，需要特判。

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AC做法#3

矩阵乘法+费马小定理+快速幂加速递推

如果有的小朋友（我）不会求通项公式怎么办？

矩阵乘法就十分友善了233

不过费马小定理的适用性也需要考虑，当a或c等于1的时候，n,m作为系数不能套用费马小定理，同样需要特判。

以上。

PS.我的代码好差啊qaz神犇代码长度连我一半都不到qwq

PPS.话说矩阵你们是怎么用两个数存下来的啊qwq……

代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#define MOD 1000000007using namespace std;struct matrix{    long long t[4][4];    void set(long long a,long long b,long long c,long long d,long long e,long long f,long long g,long long h,long long i){        t[0][0]=a;        t[0][1]=b;        t[0][2]=c;        t[1][0]=d;        t[1][1]=e;        t[1][2]=f;        t[2][0]=g;        t[2][1]=h;        t[2][2]=i;    }    friend matrix operator * (matrix a,matrix b){        matrix res;        res.set(0,0,0,0,0,0,0,0,0);        for(long long i=0;i<3;i++)        for(long long j=0;j<3;j++)        for(long long k=0;k<3;k++){            res.t[i][j]+=(a.t[i][k]*b.t[k][j])%MOD;            res.t[i][j]%=MOD;        }        return res;    }};long long n_,m_,a,b,c,d;char n[1100000],m[1100000];matrix pow(matrix x,long long n){    matrix tmp=x,res;    res.set(1,0,0,0,1,0,0,0,1);    while(n){        if(n&1){            res=res*tmp;        }        tmp=tmp*tmp;        n>>=1;    }    return res;}long long mod(char *x,long long mo){    long long res=0,l=strlen(x);    for(int i=0;i<l;i++){        res*=10;        res%=mo;        res+=(x[i]-'0');        res%=mo;    }    return res;}int main(){    scanf("%s%s%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&a,&b,&c,&d);    n_=mod(n,a==1?MOD:MOD-1),m_=mod(m,c==1?MOD:MOD-1);    matrix st,t_1,t_2;    st.set(1,b,d,0,0,0,0,0,0);    t_1.set(a,0,0,1,1,0,0,0,1);    t_2.set(c,0,0,0,1,0,1,0,1);    matrix row=pow(t_1,m_-1);    matrix line=pow(row*t_2,n_-1);    st=st*line*row;    printf("%lld\n",st.t[0][0]);}