最长回文子串：Manacher算法[转]

原文：Manacher 算法

背景

给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：

s="abcd";   //最长回文长度为 1s="ababa";  //最长回文长度为 5s="abccb";  //最长回文长度为 4，即 bccb

以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中点向两边查找。其时间复杂度为O(n2)，很不高效。而Manacher算法可以把时间复杂度提升到O(n)。

算法过程分析

由于回文分为偶回文（比如bccb）和奇回文（比如bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是，在字符串首尾，及字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"。如此，s里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组int p[]，其中p[i]表示以i为中心的最长回文的半径，例如：

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 s_new[i] # a # b # b # a # h # o # p # x # p # p[i] 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1

可以看出，p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解p数组，如下图：

设置两个变量mx,id。mx代表以id为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + p[id]。假设我们现在求p[i]，也就是以i为中心的最长回文半径，如果i < mx，则p[i]的值可基于以下三种情况得出：

1. j的回文串有一部分在id的之外

上图中，黑线为id的回文，i,j关于id对称，红线为j的回文。此时p[i] = mx - i，即紫线。那么p[i]还可以更大么？答案是不可能！见下图：

假设右侧新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a == d ，也就是说id的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故p[i] = mx - i，不可以再增加一分。

2. j回文串全部在id的内部

此时p[i] = p[j]，那么p[i]还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：

假设右侧新增的红色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a == b，也就是说j的回文应该再加上a,b，矛盾，所以假设不成立，故p[i] = p[j]，也不可以再增加一分。

3. j回文串左端正好与id的回文串左端重合

根据代码，此时p[i] = p[j]或p[i] = mx - i，并且p[i]还可以继续增加。

代码实现

#include <string>#include <vector>using namespace std;// Manacher 算法// 功能：给定一个字符串，求它的最长回文子串长度int manacher(string str) {    int max_loc = str.size() * 2;    // 初始化字符串    string s_new(max_loc + 1, '#');    for (int ii = str.size() - 1; ii >= 0; --ii) {        s_new[2 * ii + 1] = str[ii];    }    // 遍历字符串    vector<int> p(max_loc + 1, 1);    int max_len = 1;    for (int ii = 1, jj, id = 0, mx = 1; ii < s_new.size(); ++ii) {        if (ii - id >= mx) {            for (; ii + p[ii] < s_new.size() && ii - p[ii] >= 0; ++p[ii]) {                if (s_new[ii + p[ii]] != s_new[ii - p[ii]])                    break;            }            id = ii;            mx = p[ii];            max_len = max(mx, max_len);        } else {            jj = id - (ii - id);            if (jj - p[jj] == id - mx) {                for (p[ii] = id + mx - ii; ii + p[ii] < s_new.size() && ii - p[ii] >= 0; ++p[ii]) {                    if (s_new[ii + p[ii]] != s_new[ii - p[ii]])                        break;                }                id = ii;                mx = p[ii];                max_len = max(mx, max_len);            } else if (jj - p[jj] < id - mx) {                p[ii] = id + mx - ii;            } else {                p[ii] = p[jj];            }        }    }    return max_len - 1;}