【GDOI2018模拟8.11】质数

Description：

1<=n<=10^12

题解：

看到这种题就会想这是不是反演题。
如果它是一道反演题，那它必须要有gcd来，题目中没有gcd，所以能不能变换出gcd呢。
实际上2f(x)=[gcd(i,j)=1]∗[i∗j=x],即考虑每一个p^q是给i还是给j。
Ans=∑ni=1∑j|i[gcd(j,ij)=1]
=∑ni=1∑⌊ni⌋j=1[gcd(i,j)=1]
=∑ni=1∑⌊ni⌋j=1∑d|gcd(i,j)μ(d)
=∑ni=1∑d|iμ(d)∗⌊nid⌋
=∑nd=1μ(d)∗∑⌊nd⌋i=1⌊nid2⌋
观察式子，减去不必要的循环，缩小循环范围。
=∑n√d=1μ(d)∗∑⌊nd2⌋i=1⌊nid2⌋

线筛出μ，外层暴力枚举d，μ(d) ≠ 0时再内层循环分块。

∑ni=1[μ(i)≠0]
=∑(√n)i=1μ(i)∗⌊ni2⌋
根据打表可得:
≈0.607n(n>=106)

时间复杂度证明：
T=∑n√i=1ni2−−√
=∑n√i=1n√i
≈n√  logn√2

那么就是O(0.607n√  logn√2)

Code:

#include<cstdio>#define ll long long#define fo(i, x, y) for(ll i = x; i <= y; i ++)using namespace std;const ll N = 1000000, mo = 998244353;ll mu[N + 5], p[N], n, ans, s;bool bz[N + 5];int main() {    mu[1] = 1;    fo(i, 2, N) {        if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i, mu[i] = -1;        fo(j, 1, p[0]) {            ll k = i * p[j];            if(k > N) break;            bz[k] = 1;            if(i % p[j] == 0) {                mu[k] = 0;                break;            }            mu[k] = -mu[i];        }    }    scanf("%lld", &n);    for(ll d = 1; d * d <= n; d ++) if(mu[d] != 0){        ll m = n / (d * d);        s = 0;        fo(i, 1, m) {            ll j = m / (m / i);            s += (ll)(m / i) * (j - i + 1) % mo;            i = j;        }        ans += s * mu[d];    }    printf("%lld", (ans % mo + mo) % mo);}