【JZOJ5250】【GDOI2018模拟】质数(数论)

Description

Solution

要求2f(i)可以考虑狄利克雷卷积一下，或者讨论一下其中的性质。
对于所有不同的质因子，然后再2的次幂一下，很明显可以知道是选与不选的问题。
那么要求2f(i)就相当于求∑j|i[gcd(j,i/j)==1]
我们要求gcd为1的个数可以考虑容斥一下。
那么上式就转化成∑j|i∑d|gcd(j,i/j)μ[d]
我们先枚举d，设ik=j，因为d|i/j，所以d2|ik
那么式子变成∑d2|iμ[d]∑id2k=1[d2k|i]
然后后面的式子就变成∑d2|iμ[d]g(id2)
g(i)表示i的约数个数
然后再把d提出来式子就变成
∑n√d=1μ[d]∑nd2k=1g(d2kd2)
式子等于∑n√d=1μ[d]∑nd2k=1nd2k
然后直接暴力就好了

Code

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<math.h>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=1e6+7,mo=998244353;ll i,j,k,l,t,m,ans,q,n,r;int er[21],p[maxn],mu[maxn],s[maxn];bool bz[maxn];int main(){//  freopen("fan.in","r",stdin);    fo(i,2,maxn-7){        if(!bz[i])p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;        fo(j,1,p[0]){            t=p[j]*i;if(t>maxn-7)break;            bz[t]=1;if(i%p[j]==0){break;}            mu[t]=-mu[i];        }    }    mu[1]=1;    scanf("%lld",&n);    fo(i,1,sqrt(n)){        q=0;t=n/(i*i);        l=1;        while(l<=t){            r=t/(t/l);            q=(q+(r-l+1)*(t/l))%mo;            l=r+1;        }        ans=(ans+mu[i]*q)%mo;    }    ans=(ans+mo)%mo;    printf("%lld\n",ans);}