最近公共祖先（LCA）之树上倍增法

来源：互联网发布：suse linux 配置ip 编辑：程序博客网时间：2024/05/16 04:41

树上倍增

如果我们直接一个一个结点遍历去寻找这样的祖先，复杂度是O(n)的。而在算法竞赛中，经常会有个数较多的询问。比如50000个点，50000个询问，这时直接遍历的方法耗时较多。
下面是一种被称作树上倍增的算法，实际上它的思想类似于二分枚举法，时间复杂度是log(n)的。

终究都要走到一起（树根），可以考虑第一个不同祖先，这是倍增法的思想

所谓倍增，就是两倍，即从一个节点逐渐往上找k级父亲（所跨层数为2k，20即为通常所说的父结点）

具体操作：先使两个结点深度相同(在同一层)，然后将k从大到小进行枚举。之前要对2k结点作预处理。

往往题目中不光要求LCA,还询问路径上的一些信息（如权值之和或者权值最大），因此还要另外记录。

参考代码

存储结构

const int maxn=100000;//节点数vector<Edge> edges;//边的具体信息vector<int> G[maxn];//边的编号const int maxlog=30;int grand[maxn][maxlog];int gdis[maxn][maxlog];int gmax[maxn][maxlog];int depth[maxn];int n;//结点数int s;//倍增最大步数int root;//根节点

预处理

void addEdge(int u,int v,int w){//vector邻接表    edges.push_back(Edge(u,v,w));    edges.push_back(Edge(v,u,w));    int size=edges.size();    G[u].push_back(size-2);    G[v].push_back(size-1);}void dfs(int x)//预处理{    for(int i=1;i<=s;++i){//k级父亲        grand[x][i]=grand[grand[x][i-1]][i-1];        gdis[x][i]=gdis[x][i-1]+gdis[grand[x][i-1]][i-1];        gmax[x][i]=max(gmax[x][i-1],gmax[grand[x][i-1]][i-1]);        if(!grand[x][i]) break;    }    for(int i=0;i<G[x].size();i++){        Edge & e=edges[G[x][i]];        if(e.to!=grand[x][0]){            depth[e.to]=depth[x]+1;            grand[e.to][0]=x;            gdis[e.to][0]=e.dist;            gmax[e.to][0]=e.dist;            dfs(e.to);        }    }}void init()//初始化{    s=floor(log(n+0.0)/log(2.0));    depth[0]=-1;    memset(grand,0,sizeof(grand));    memset(gdis,0,sizeof(gdis));    memset(gmax,0,sizeof(gmax));    root=1;    dfs(root);//以1为根结点建树}

核心代码

int lca(int a,int b,int &maxx,int &ans)//maxx,ans:最大值，路径权值和{    if(depth[a]>depth[b]) swap(a,b);    ans=0;//路径权值和    maxx=gmax[b][0];    //for(int i=s;i>=0;i--)    //    if(depth[a]<depth[b]&&depth[grand[b][i]]>=depth[a])    //        ans+=gdis[b][i],maxx=max(maxx,gmax[b][i]),b=grand[b][i];    int dre=depth[b]-depth[a];    for(int i=s;i>=0;--i){        if(dre&(1<<i)) ans+=gdis[b][i],maxx=max(maxx,gmax[b][i]),b=grand[b][i];    }    if(a==b) return a;    for(int i=s;i>=0;i--)        if(grand[a][i]!=grand[b][i]){            ans+=gdis[a][i],ans+=gdis[b][i];            maxx=max(maxx,gmax[a][i]),maxx=max(maxx,gmax[b][i]);            a=grand[a][i],b=grand[b][i];        }    ans+=gdis[a][0];    ans+=gdis[b][0];    maxx=max(maxx,gmax[a][0]);    maxx=max(maxx,gmax[b][0]);    return grand[a][0];}

总体示例(vector)

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;struct Edge{    int from,to,dist;    Edge(int u,int v,int w):from(u),to(v),dist(w){    }};const int maxn=100000;//节点数vector<Edge> edges;//边的具体信息vector<int> G[maxn];//边的编号void addEdge(int u,int v,int w){//vector邻接表    edges.push_back(Edge(u,v,w));    edges.push_back(Edge(v,u,w));    int size=edges.size();    G[u].push_back(size-2);    G[v].push_back(size-1);}const int maxlog=30;int grand[maxn][maxlog];int gdis[maxn][maxlog];int gmax[maxn][maxlog];int depth[maxn];int n;//结点数int s;//倍增最大步数int root;//根节点void dfs(int x)//预处理{    for(int i=1;i<=s;++i){        grand[x][i]=grand[grand[x][i-1]][i-1];        gdis[x][i]=gdis[x][i-1]+gdis[grand[x][i-1]][i-1];        gmax[x][i]=max(gmax[x][i-1],gmax[grand[x][i-1]][i-1]);        if(!grand[x][i]) break;    }    for(int i=0;i<G[x].size();i++){        Edge & e=edges[G[x][i]];        if(e.to!=grand[x][0]){            depth[e.to]=depth[x]+1;            grand[e.to][0]=x;            gdis[e.to][0]=e.dist;            gmax[e.to][0]=e.dist;            dfs(e.to);        }    }}void init(){    s=floor(log(n+0.0)/log(2.0));    depth[0]=-1;    memset(grand,0,sizeof(grand));    memset(gdis,0,sizeof(gdis));    memset(gmax,0,sizeof(gmax));    root=1;    dfs(root);//以1为根结点建树}int lca(int a,int b,int &maxx,int &ans)//maxx,ans:最大值，路径权值和{    if(depth[a]>depth[b]) swap(a,b);    ans=0;//路径权值和    maxx=gmax[b][0];    //for(int i=s;i>=0;i--)    //    if(depth[a]<depth[b]&&depth[grand[b][i]]>=depth[a])    //        ans+=gdis[b][i],maxx=max(maxx,gmax[b][i]),b=grand[b][i];    int dre=depth[b]-depth[a];    for(int i=s;i>=0;--i){        if(dre&(1<<i)) ans+=gdis[b][i],maxx=max(maxx,gmax[b][i]),b=grand[b][i];    }    if(a==b) return a;    for(int i=s;i>=0;i--)        if(grand[a][i]!=grand[b][i]){            ans+=gdis[a][i],ans+=gdis[b][i];            maxx=max(maxx,gmax[a][i]),maxx=max(maxx,gmax[b][i]);            a=grand[a][i],b=grand[b][i];        }    ans+=gdis[a][0];    ans+=gdis[b][0];    maxx=max(maxx,gmax[a][0]);    maxx=max(maxx,gmax[b][0]);    return grand[a][0];}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        int maxx,sum;        edges.clear();        for(int i=0;i<maxn;++i){            G[i].clear();        }        int query,u,v,w;        cin>>n>>query;        for(int i=1;i<=n-1;++i){            cin>>u>>v>>w;            addEdge(u,v,w);        }        init();        for(int i=1;i<=query;++i){            cin>>u>>v;            lca(u,v,maxx,sum);            cout<<lca(u,v,maxx,sum)<<endl;            cout<<maxx<<endl;            cout<<sum<<endl;        }    }    return 0;}

优化(链式向前星,数据量较大时可以优化常数)

//链式向前星也是存图的一种方式，用数组模拟邻接表，在点数较多时较vector优int head[2*maxn];void addEdge(int u,int v){//关键部分    edges[cnt].from=v;    edges[cnt].to=head[u];    head[u]=cnt++;}

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