问题 D: 地宫取宝

问题 D: 地宫取宝

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题目描述

历届试题  地宫取宝    
时间限制：1.0s     内存限制：256.0MB 
      
问题描述 
　　X  国王有一个地宫宝库。是  n  x  m  个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。 

　　地宫的入口在左上角，出口在右下角。 

　　小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。 

　　走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。 

　　当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。 

　　请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。 
输入格式 
　　输入一行3个整数，用空格分开：n  m  k  (1< =n,m< =50,  1< =k< =12) 

　　接下来有  n  行数据，每行有  m  个整数  Ci  (0< =Ci< =12)代表这个格子上的宝物的价值 
输出格式 
　　要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对  1000000007  取模的结果。 
样例输入 
2  2  2 
1  2 
2  1 
样例输出 
2 
样例输入 
2  3  2 
1  2  3 
2  1  5 
样例输出 
14 

由于只能右边或者下边走，而纯粹的采用DFS的方法，由于数据范围是50*50的 ，那么递归树至少有50层，用这样的方法一定会超时的。题目和经典DP题目“数字三角形”特别像，而做这类题的方法有三种。1：递归计算。2：递推计算。3：记忆化搜索。根据这道题目的数据范围，判断应该使用记忆化搜索的方法解题。我们设数组vis[x][y][sum][max]表示在坐标（x,y）拥有sum件物品且物品最大价值是max的情况出发到出口有多少种合理的走法。

#include <stdio.h>#include <string.h>#define N 1000000007int n,m,k;int map[50][50];int vis[50][50][15][15];//vis数组中记录的是状态：xy代表坐标 拥有宝物数量 拥有宝物的最大值(这4个可以详尽唯一的描述没一种可能)//  如   vis[3][4][5][6]=7 即当在map[3][4]且身上有5件宝物 宝物的最大值是6 到达终点有7种路径int dfs(int x,int y,int num,int max)//当前位置   拥有宝物的数量 拥有的宝物的最大值{    if (vis[x][y][num][max+1]!=-1)//因为宝物的价值有可能为0，所以定义max时用最小值-1 。但这就导致无法作为下标使用，所以我们用max+1代表下标。实际上如果测试数据中宝物价值不可能为0，这时将所有的max+1中的1去掉也是可以的。    {        return vis[x][y][num][max+1];    }//记忆化的记忆就指的是上面    if(x==n&&y==m)    {        if(num==k)return vis[x][y][num][max+1]=1;//满足条件 当前点到目标有1种方案        else if(num==k-1&&max<map[x][y])return vis[x][y][num][max+1]=1;//同样满足条件 当前点到目标有1种方案        else return vis[x][y][num][max+1]=0;//不满足条件 当前点到目标有0种方案    }    long long s=0;    if(x+1<=n)//可以向下走    {        if (max<map[x][y])   //可以去走当前宝物        {            s+=dfs(x+1,y,num+1,map[x][y]);            s%=N; //每次都取余，这样可以避免是s值过大越界        }        s+=dfs(x+1,y,num,max);//未取走当前宝物        s%=N;    }    if(y+1<=m)//可以向右走    {        if (max<map[x][y])        {            s+=dfs(x,y+1,num+1,map[x][y]);            s%=N;        }        s+=dfs(x,y+1,num,max);        s%=N;    }    return vis[x][y][num][max+1]=s%N;;}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);    for (int i = 1; i<=n; i++)    {        for (int j = 1; j <=m; j++)        {            scanf("%d",&map[i][j]);        }    }//初始地宫    memset(vis,-1,sizeof(vis));    dfs(1,1,0,-1);    printf("%d",vis[1][1][0][0]);    return 0;}