数据结构-二叉排序树
来源:互联网 发布:postgresql mysql迁移 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 01:08
二叉查找树定义:又称为是二叉排序树(Binary Sort Tree)或二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:
1) 若左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
2) 若右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值;
3) 左、右子树也分别为二叉排序树;
4) 没有键值相等的节点。
二叉查找树的性质:对二叉查找树进行中序遍历,即可得到有序的数列。
二叉查找树的时间复杂度:它和二分查找一样,插入和查找的时间复杂度均为O(logn),但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候,树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度,这就是平衡查找树设计的初衷。
二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。
二叉查找树的插入过程如下:
1) 若当前的二叉查找树为空,则插入的元素为根节点;
2) 若插入的元素值小于根节点值,则将元素插入到左子树中;
3) 若插入的元素值不小于根节点值,则将元素插入到右子树中。
二叉查找树的删除,分三种情况进行处理:
1) p为叶子节点,直接删除该节点,再修改其父节点的指针(注意分是根节点和不是根节点),如图a;
2) p为单支节点(即只有左子树或右子树)。让p的子树与p的父亲节点相连,删除p即可(注意分是根节点和不是根节点),如图b;
3) p的左子树和右子树均不空。找到p的后继y,因为y一定没有左子树,所以可以删除y,并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点,并用y的值代替p的值;或者方法二是找到p的前驱x,x一定没有右子树,所以可以删除x,并让x的父亲节点成为y的左子树的父亲节点。如图c。
上图对于第三种删除的方式可能还不够清楚,我们再截个图
二叉树相关实现源码:
插入操作:
struct node{ int val; pnode lchild; pnode rchild;};pnode BT = NULL;//递归方法插入节点 pnode insert(pnode root, int x){ pnode p = (pnode)malloc(LEN); p->val = x; p->lchild = NULL; p->rchild = NULL; if(root == NULL){ root = p; } else if(x < root->val){ root->lchild = insert(root->lchild, x); } else{ root->rchild = insert(root->rchild, x); } return root;}//非递归方法插入节点 void insert_BST(pnode q, int x){ pnode p = (pnode)malloc(LEN); p->val = x; p->lchild = NULL; p->rchild = NULL; if(q == NULL){ BT = p; return ; } while(q->lchild != p && q->rchild != p){ if(x < q->val){ if(q->lchild){ q = q->lchild; } else{ q->lchild = p; } } else{ if(q->rchild){ q = q->rchild; } else{ q->rchild = p; } } } return;}
删除操作:
bool delete_BST(pnode p, int x) //返回一个标志,表示是否找到被删元素 { bool find = false; pnode q; p = BT; while(p && !find){ //寻找被删元素 if(x == p->val){ //找到被删元素 find = true; } else if(x < p->val){ //沿左子树找 q = p; p = p->lchild; } else{ //沿右子树找 q = p; p = p->rchild; } } if(p == NULL){ //没找到 cout << "没有找到" << x << endl; } if(p->lchild == NULL && p->rchild == NULL){ //p为叶子节点 if(p == BT){ //p为根节点 BT = NULL; } else if(q->lchild == p){ q->lchild = NULL; } else{ q->rchild = NULL; } free(p); //释放节点p } else if(p->lchild == NULL || p->rchild == NULL){ //p为单支子树 if(p == BT){ //p为根节点 if(p->lchild == NULL){ BT = p->rchild; } else{ BT = p->lchild; } } else{ if(q->lchild == p && p->lchild){ //p是q的左子树且p有左子树 q->lchild = p->lchild; //将p的左子树链接到q的左指针上 } else if(q->lchild == p && p->rchild){ q->lchild = p->rchild; } else if(q->rchild == p && p->lchild){ q->rchild = p->lchild; } else{ q->rchild = p->rchild; } } free(p); } else{ //p的左右子树均不为空 pnode t = p; pnode s = p->lchild; //从p的左子节点开始 while(s->rchild){ //找到p的前驱,即p左子树中值最大的节点 t = s; s = s->rchild; } p->val = s->val; //把节点s的值赋给p if(t == p){ p->lchild = s->lchild; } else{ t->rchild = s->lchild; } free(s); } return find;}
查找操作:
pnode search_BST(pnode p, int x){ bool solve = false; while(p && !solve){ if(x == p->val){ solve = true; } else if(x < p->val){ p = p->lchild; } else{ p = p->rchild; } } if(p == NULL){ cout << "没有找到" << x << endl; } return p;}
总结:二叉树以链式方式存储,保持了链接存储结构在执行插入或删除操作时不用移动元素的优点,只要找到合适的插入和删除位置后,仅需要修改链接指针。插入删除的时间性能比较好。但对于二拆排序树的查找,走的就是从根节点到要查找的节点的路径,其比较次数和树的高度相关。极端情况,最少为1次,即根节点就是要找的节点,最多也不会超过树的深度。也就是说,二叉排序树的查找性能取决于二叉排序树的形状(高度)。可问题就在于,二叉排序树的形状是不确定的。
故平衡二叉树由此诞生,参考我的下篇博文
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