容斥原理

容斥原理是一种极其重要的记数工具，在组合数学，概率学，数论等都具有非常重要的地位。

先普及一下集合的一些知识点：

1，是指集合A与B的交集，若A={1,3,4,7},B={3,7,8,10}，则={3,7}。

2，是指集合A与B的并集，若A={1,3,4,7},B={3,7,8,10}，则={1,3,4,7,8,10}。

3，若一个集合A的所有元素都在另一个集合B里，记为，则称A是B的子集。

4，集合A不同元素的个数为。

下面开始进入正题。

设有集合S，如果有，且n>=2，则有以下公式：

用数学归纳法证明：

当n=2时，易知。

当n>2时，假设n-1时结论成立，则有：

证毕。

同法可证：

其实，容斥原理还有许多公式。现在，我们已经证明了容斥原理中较为简单的式子。容斥原理还有另外一些更深奥的式子，如利用Sylvester公式可以推出欧拉函数(小于n的正整数与n互质的数的个数)的表达式。这些东西以后再来讨论。