HDU 6097 Mindis【计算几何】

题目来戳呀

Problem Description

The center coordinate of the circle C is O, the coordinate of O is (0,0) , and the radius is r.
P and Q are two points not outside the circle, and PO = QO.
You need to find a point D on the circle, which makes PD+QD minimum.
Output minimum distance sum.

Input

The first line of the input gives the number of test cases T; T test cases follow.
Each case begins with one line with r : the radius of the circle C.
Next two line each line contains two integers x , y denotes the coordinate of P and Q.

Limits
T≤500000
−100≤x,y≤100
1≤r≤100

Output

For each case output one line denotes the answer.
The answer will be checked correct if its absolute or relative error doesn’t exceed 10−6.
Formally, let your answer be a, and the jury’s answer be b. Your answer is considered correct if |a−b|max(1,b)≤10−6.

Sample Input

4
4
4 0
0 4
4
0 3
3 0
4
0 2
2 0
4
0 1
1 0

Sample Output

5.6568543
5.6568543
5.8945030
6.7359174

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 6

题意：

给你一个圆心为o半径为r的圆，p，q两点在园内或圆上，op=oq，找到一个在圆上的点d，使得pd+qd的值最小。输出这个pd+qd。

想法：

预备知识：有一个你不知道就做不出来的知识点：）（用了这个小伙伴的图）
在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP•OP′=r2，这把点P变为点P的变换叫做反演变换，点P与点P′叫做互为反演点。
首先对p点做反演点p1，由反演点定义易得△POD∽△DOP′（两边成比例，夹角相等）,所以OPOD=ODOP′=PDDP′

我们发现PD可以转化成求PD’的值，即PD=PD’×相似比
同理，做出Q的反演点Q’，QD=Q’D×相似比
PD+QD=相似比×（P’D+Q’D），所以接下来的重点就是求P’D+Q’D

连接P’D’.
1.若P’D’与圆有交点，则交点就是D’。
若D不是这个交点，而是圆上其他位置上的点，P’DQ’就会构成三角形，根据三角形的两边之和大于第三边，我们易得只有D是交点时，P’D+Q’D会最短。

2.若P’Q’与圆无交点，则P’D’中垂线与圆的交点是D。
将P’、Q’看作椭圆的两个焦点，P’Q’的中点是原点，P’D’中垂线是短轴
因为在 以 P’ 和 Q’ 为焦点的椭圆上的任意一点到 P’ 和 Q’ 的距离之和 d 相等，为 2a；而在既能在圆上又能在椭圆上的只有椭圆与圆的切点，即中垂线与圆的交点。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const double eps=1e-8;int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        double r,xp,yp,xq,yq;        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&r,&xp,&yp,&xq,&yq);        double op=sqrt(pow(xp,2)+pow(yp,2));        if(fabs(op)<eps)///p q两个点无限相交的时候        {            printf("%.7f\n",2*r);        }        else        {            double ans;            double scale=r*r/(op*op);///相似比            double xp1=xp*scale,yp1=yp*scale,xq1=xq*scale,yq1=yq*scale;            double midx=(xp1+xq1)/2,midy=(yp1+yq1)/2;            double mid_o=sqrt(pow(midx,2)+pow(midy,2));            if(mid_o<=r)///直线与圆相交 D是交点            {                double p1q1=sqrt(pow(xp1-xq1,2)+pow(yp1-yq1,2));                ans=d1*op/r;            }            else///切点在之外 D就是中垂线与圆的交点            {                double k=r/mid_o;                double newmidx=k*midx,newmidy=k*midy;                ans=2*sqrt(pow(newmidx-xp,2)+pow(newmidy-yp,2));            }            printf("%.7f\n",ans);        }    }    return 0;}

ps：呜啊 这个真的就是纯几何题了吧QAQ 之前没接触过反演，看到有人说初中知识，怀疑我的初中真的存在过吗QAQ