hihocoder 1185(SCC,路径和)
来源:互联网 发布:linux mv 文件夹 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 23:02
problem
暑假到了!!小Hi和小Ho为了体验生活,来到了住在大草原的约翰家。今天一大早,约翰因为有事要出去,就拜托小Hi和小Ho忙帮放牧。
约翰家一共有N个草场,每个草场有容量为W[i]的牧草,N个草场之间有M条单向的路径。
小Hi和小Ho需要将牛羊群赶到草场上,当他们吃完一个草场牧草后,继续前往其他草场。当没有可以到达的草场或是能够到达的草场都已经被吃光了之后,小hi和小Ho就把牛羊群赶回家。
一开始小Hi和小Ho在1号草场,在回家之前,牛羊群最多能吃掉多少牧草?
举个例子:
图中每个点表示一个草场,上部分数字表示编号,下部分表示草场的牧草数量w。
在1吃完草之后,小Hi和小Ho可以选择把牛羊群赶到2或者3,假设小Hi和小Ho把牛羊群赶到2:
吃完草场2之后,只能到草场4,当4吃完后没有可以到达的草场,所以小Hi和小Ho就把牛羊群赶回家。
若选择从1到3,则可以到达5,6:
选择5的话,吃完之后只能直接回家。若选择6,还可以再通过6回到3,再到5。
所以该图可以选择的路线有3条:
1->2->4 total: 11
1->3->5 total: 9
1->3->6->3->5: total: 13
所以最多能够吃到的牧草数量为13。
本题改编自USACO月赛金组
提示:强连通分量
小Ho:我觉得这次最大的问题就是会出现环了。
小Hi:假如没有环呢?
小Ho:那样我就可以这么来做:
因为不存在环,那么图就满足了有向无环的性质。我可以利用上次我们解决病毒问题时同样的思路,将累加改为求最大值,利用拓扑排序计算出从起点到当前节点能够得到的最大牧草数量。即:
假设gress[i]表示从起点到草场i累计可以吃到的牧草数量。
grass[i] = max{ grass[j] | j 是 i的前驱结点 } + w[i]
最后我只需要知道最大的grass[i],就是我们所要寻求的答案。
小Hi:小Ho很厉害嘛,这么快就学会了使用拓扑排序。
小Ho:哎嘿嘿….
小Hi:你说的没错,但是这次的问题最大的限制就是有环的存在。
小Ho:所以有什么办法能够处理么?
小Hi:当然有了,不过首先我们要理解一个新的知识——强连通分量,其定义为:
对于有向图上的2个点a,b,若存在一条从a到b的路径,也存在一条从b到a的路径,那么称a,b是强连通的。
对于有向图上的一个子图,若子图内任意点对(a,b)都满足强连通,则称该子图为强连通子图。
非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量。
特别地,和任何一个点都不强连通的单个点也是一个强连通分量。
对于一个强连通的分量,也就是在其中任意一个点都可以到达其他点。如果草场满足这个性质呢?
小Ho:如果草场是一个强连通图,那么我们只要走到任意一点,就可以把其他所有的草场都走一遍,并且可以选择任意一个点作为终点。
小Hi:没错,再回头看看我们的例子:
同时存在边(3,6)和(6,3),所以3和6这两个节点也就构成了一个强连通分量。在我们路径中也就存在了3->6->3这样一段。如果换个方式讲的话:
首先到了3,在这个强连通分量中,我们将该分量中所有的点都走过了之后,又重新回到了3。
在处理的时候,我们不妨可以将6和3缩成一个点,那么就可以得到:
这样是不是就变成了你可以解决的问题了?
小Ho:是的,而且答案也没有变化。也就是说我需要满足强连通的点都缩在一起就好了,但是我怎么确定应该缩到哪一点呢?
小Hi:因为一个强连通块会被缩成一个点,那么我们可以直接建立一个新的图,这个图中的点对应的是每一个强连通块。若原图中存在边(u,v),连接了属于强连通分量A的点u和属于强连通分量B的点v,那么我们就在新图中建立一条边(A,B)。
小Ho:哦,我大概明白了。这次的问题处理方法就是先根据原图找到所有的强连通分量,然后再根据原图边的关系建立新的图,之后再用拓扑排序来处理就可以得到最终结果。
小Hi:没错,就是这样。
小Ho:那么我还有最后一个问题:我们要如何求强连通分量。
小Hi:当然,我们还是得用Tarjan算法来完成了,其伪代码如下:
tarjan(u){ Dfn[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过 tarjan(v) // 继续向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in Stack) // 如果节点v还在栈内(很重要,无向图没有这一步) Low[u] = min(Low[u], Dfn[v]) if (Dfn[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = Stack.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点 mark v // 标记v,同样通过栈来找连通分量 until (u == v)}
小Ho:我懂了。我这就去实现它!
小Hi:当然,别忘了还有最重要的一个条件,我们开始在草场1,所以可能有些草场我们是无法到达的,那样的草场需要特殊处理,简单的做法就是将草量处理为0。
小Ho:好,我知道了!
输入
第1行:2个正整数,N,M。表示点的数量N,边的数量M。1≤N≤20,000, 1≤M≤100,000
第2行:N个正整数,第i个整数表示第i个牧场的草量w[i]。1≤w[i]≤100,000
第3..M+2行:2个正整数,u,v。表示存在一条从u到v的单向路径。1≤u,v≤N
输出
第1行:1个整数,最多能够吃到的牧草数量。
Sample Input
6 6
2 4 3 5 4 4
1 2
2 4
1 3
3 5
3 6
6 3
Sample Output
13
思路
在经典Tarjan算法的基础上稍作修改即可
Tarjan算法简介:http://blog.csdn.net/feynman1999/article/details/77170737
路径和可以用DFS直接比较,也可以用DP转移方程,也可以求出拓扑序列比较
代码示例1(直接缩点+DFS)
#include<bits/stdc++.h>#define M(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define bug(a) cout<<"debug: "<<a<<endl;using namespace std;const int _=20010;int n,m,dfs_clock,w[_],pre[_],sccno[_];vector<int> G[_];stack<int> S;//pre数组记录搜索到该点的时间,也就是第几个搜索到该点int tarjan(int u){ int lowu=pre[u]=++dfs_clock; S.push(u); for(int i=0;i<G[u].size();++i){ int v=G[u][i]; if(!pre[v]){ int lowv=tarjan(v); lowu=min(lowu,lowv); } else if(!sccno[v]){ lowu=min(lowu,pre[v]); } } int sum=0; if(lowu==pre[u]){//合并 while(1){ int t=S.top(); S.pop(); sccno[t]=u; //cout<<"t->u "<<t<<"->"<<u<<endl; sum+=w[t]; if(t==u) break; } w[u]=sum; //cout<<"u:"<<u<<" sum:"<<sum<<endl; } return lowu;}void upd()//从新建树{ for(int i=1;i<=n;++i) if(i!=sccno[i]){ for(int j=0;j<G[i].size();++j){ int &c=G[i][j]; if(c!=sccno[i]) G[sccno[i]].push_back(c); } }}int sum,ans;void dfs(int u)//求路径上的最大值,也可以tupo{ sum+=w[u]; for(int i=0;i<G[u].size();++i){ int &v=G[u][i]; if(sccno[v]==u) continue; dfs(sccno[v]); } ans=max(ans,sum); sum-=w[u];}int main(){ ios::sync_with_stdio(false); //freopen("read.txt","r",stdin); cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;++i) cin>>w[i];//从1计数 for(int i=0;i<n;++i) G[i].clear(); while(m--) { int u,v; cin>>u>>v; G[u].push_back(v); } dfs_clock=0; M(pre,0),M(sccno,0); tarjan(1); upd(); dfs(1); cout<<ans<<endl; return 0;}
代码示例2(重新建图+DP)
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define M(a, b) memset(a, b, sizeof(a))#define INF 0x3f3f3f3fconst int N = 20000 + 5;int pre[N], sccno[N], val[N], w[N], dfs_clock, scc_cnt;vector<int> G2[N];vector<int> G[N];stack<int> S;int dfs(int u) { int lowu = pre[u] = ++dfs_clock; S.push(u); for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i) { int v = G[u][i]; if (!pre[v]) { int lowv = dfs(v); lowu = min(lowu, lowv); } else if (!sccno[v]) lowu = min(lowu, pre[v]); } if (lowu == pre[u]) { ++scc_cnt; while (true) { int x = S.top(); S.pop(); sccno[x] = scc_cnt; val[scc_cnt] += w[x]; //cout << x << " "; if (x == u) { //cout << val[scc_cnt] << endl; break; } } } return lowu;}void find_scc(int n) { M(pre, 0); M(sccno, 0); M(val, 0); dfs_clock = scc_cnt = 0; for (int i = 1; i <=n; ++i) if (!pre[i]) dfs(i);}int dp(int u) { int ans = 0; for (int i = 0; i < G2[u].size(); ++i) { int j = G2[u][i]; //cout << j << " " << val[j] << endl; ans = max(ans, dp(j)+val[j]); } return ans;}int main() { //freopen("./in.txt", "r", stdin); int n, m; while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { for (int i = 0; i <=n; ++i) G[i].clear(), G2[i].clear(); for (int i = 1; i <=n; ++i) scanf("%d", &w[i]); int u, v; for (int i = 0; i < m; ++i) { scanf("%d%d", &u, &v); G[u].push_back(v); } find_scc(n); for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 0; j < G[i].size(); ++j) { int k = G[i][j]; if (sccno[i] != sccno[k]) { //cout << sccno[i] << " " << sccno[k] << endl; G2[sccno[i]].push_back(sccno[k]); } } int ans = 0; int s = sccno[1]; //cout << s << endl; ans = dp(s)+val[s]; printf("%d\n", ans); } return 0;}
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