小于等于n的素数的个数(埃式筛选法和欧拉筛选)
来源:互联网 发布:centos 7 1611下载 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 01:23
问题描述
给定数字n,求出小于等于n的素数的个数,假设n<=1000000
思路
找出数字n之前的所有素数,用数组isprime[i]表示i是否是素数;用num[i]表示小于等于数字i的素数有多少。
那么最重要的就是解决判断一个数是否是素数
方法1
最基础的方法是对每个数从2开始遍历到根号n,判断有没有n的因子,但是显然效率非常低
方法2
埃式筛选法( Eratosthenes筛选)预处理一下
原理:一个合数总是可以分解成若干质数的乘积
初始化isprime数组为1,遍历所有小于题目给定的1000000的数,从1开始判断,如果改数不是素数,那么就将其isprime改成0.
显然1不是素数,num[1]=0;从2开始,如果一个数i是素数(比如2),那么这个数的倍数都不是素数(也就是,4,6,8,10…)这些数至少有一个素数因子了,因此将i的所有倍数的isprime都设为0,而num[i]=num[i-1]+1;
如果一个数i不是素数,那么不用处理,直接num[i]=num[i-1]
代码如下
const int cont = 1000002;bool isprime[1000002];int num[1000002];int main(){ int n; memset(isprime,1,sizeof(isprime)); memset(num,0,sizeof(num)); isprime[1]=0; num[1]=0; for(int i = 2;i<cont;i++) { if(isprime[i])//是素数 { num[i]=num[i-1]+1; for(int j = 2*i;j<cont;j+=i)//去掉所有倍数 isprime[j]=0; } else num[i]=num[i-1]; } while(~scanf("%d",&n)) { printf("%d\n",num[n]); }}
分析:
时间复杂度是O(nloglogn)
效率已经比较高,但是做了一些无用功,一个数会被重复筛选很多遍,
比如2和3的倍数中都有6
方法2
欧拉筛选
欧拉筛选的目的就是要不做重复功,筛选过的不再重复筛选,这里的prime[i]=k表示的是第i个素数是k;第一重循环是找素数,第二重还是借助找到的素数去除该数的倍数,只不过去除的方式不同
代码如下:
const int cont = 1000002;; int Prime[cont]; bool vis[cont]; void prepare() { int num = 0; memset(vis,true,sizeof(vis)); for(int i = 2; i <= cont; ++i) { if(vis[i]) Prime[++num] = i; for(int j = 1; j <= num; ++j) { if (i * Prime[j] > cont) break; vis[i * Prime[j]] = false; if (i % Prime[j] == 0) //表明这个数已经被筛过了 break; } } }
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