HDU 6121 树的节点计数

Build a tree

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Problem Description

HazelFan wants to build a rooted tree. The tree has n nodes labeled 0 to n−1, and the father of the node labeled i is the node labeled ⌊i−1k⌋. HazelFan wonders the size of every subtree, and you just need to tell him the XOR value of these answers.

 

Input

The first line contains a positive integer T(1≤T≤5), denoting the number of test cases.
For each test case:
A single line contains two positive integers n,k(1≤n,k≤1018).

 

Output

For each test case:
A single line contains a nonnegative integer, denoting the answer.

 

Sample Input

25 25 3

 

Sample Output

76

 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 7

 

题意 ： 给出 n 和 k，表示有n个节点的 k 叉树，要求算出所有子树的节点个数的异或值

n 和 k 给的是 10^18 很显然是不能去直接计算的，但是我们直到 异或的特性 a ^ a = 0 , a ^ 0 = a

而题目给出的树是一棵完全k叉树（labeled i is the node labeled ⌊i−1k⌋.），也就是说对于同一层非叶子节点来说

他们顶上的节点数都是一样的，这个特性要利用好。

思路 ：

如果 k = 1，那么这棵树成链状，结果就是 1^2^3^...^n ，会发现它们每4次出现一个0，所以模4之后可以直接判断结果

k ！= 1 的时候，我们先计算出这棵树的高度，然后从上到下（根节点开始）打出每一层上面的节点个数（用tree[]）

打完这个表后，如果要求叶子节点个数 可以 n - tree[depth - 1] ， 先处理叶子节点，然后从倒数第二层向上计算就可以了，利用异或的特性，判断奇偶就可以节省大量的计算时间，然后注意处理不满的子树即可

#include<cstdio>using namespace std;#define ll long long#define maxn 1000000ll tree[200];ll Pow(ll a,int b){//快速幂 ll ans = 1;ll tmp = a;while(b){if(b & 1){ans *= tmp;}tmp *= tmp;b>>=1;}return ans;}void build_tree(int depth,ll k){for(int i = 0;i <= depth;i++){tree[i] = (Pow(k,i) - 1) / (k - 1);}// tree[i] 存第i层 上方的节点个数 }int main(){int t;ll n,k,ans,lid,rid,lsum,rsum;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%lld %lld",&n,&k);if(k == 1){//当 k = 1的时候，成链 就是 1^2^3^...^n 其中是每 4 个一循环到 0 int tmp = n & 3;if(tmp == 0)ans = n;else if(tmp == 1)ans = 1;else if(tmp == 2)ans = n + 1;elseans = 0;printf("%lld\n",ans);continue;}int depth = 1; //建立树的根节点层数为 1 for(ll m = n - 1;m > 0;depth++){m = (m - 1) / k;}//计算出这棵树的最大层数 build_tree(depth + 2,k);ans = n;//根节点的值为 n  ans ^= (n - tree[depth - 1]) & 1;//先把叶子节点的处理了，都为 1 ，有奇数个则异或 1 depth--;ll p = (n - 2) / k;// p 为 最后一个叶子的父节点 for(int id = 2;p > 0;p = (p - 1) / k,id++,depth--){ //从倒数第二层开始 lid = tree[depth - 1];//  lid 记录 该层最左边的下标 rid = tree[depth] - 1;//  rid 记录 该层最右边的下标 lsum = tree[id];// 由于我们记的是从上到下的个数，所以倒数第二层的满子树节点数 // 等于从上往下加到第二层的 节点数 rsum = tree[id - 1];// 在右边的子树是不满的，所以要少一层 if((p - lid) & 1){// p - lid 奇数个则表示有偶数个子树，对其中一棵树一定是满的 ans ^= lsum;// 另一棵不一定是满的会在最后处理 }if((rid - p) & 1){// 右边的都是不满的，且节点数可以确定 rid - p 就是棵数 ans ^= rsum;// 奇数棵直接异或，偶数棵抵消 }ll op = p; while(op <= (n - 2) / k){//找到当前可能不满的子树的最左下角叶子 op = op * k + 1;}ans ^= (tree[id - 1] + n - op);//算出这棵可能不满树 的真正节点数 }printf("%lld\n",ans);}return 0;}