【HDU1695】 GCD （欧拉筛+欧拉函数+质因数分解+容斥原理）

来源：互联网发布：java.util.scanner错误编辑：程序博客网时间：2024/05/21 23:34

这道题是一道莫比乌斯函数的入门题，但是也可以用容斥原理求解，这道题帮我好好复习了数论中关于素数的知识。

题意：给定两个区间求两个区间中的数构成的数对，有多少对满足gcd(a, b) = k

分析：第一步是转化，gcd(a, b) = k，即等价于gcd(a/k, b/k) = 1，将[1, b] 变成[1, b / k ], [1, d] 变成[1, d / k ]，然后就是找两个区间互质的数对

假设两个数组[1, a] [1, b]，不妨设a <= b ，这个问题可以分成两种情况讨论：

第一种情况是当B数组所取的值是小于等于a时，这样就是求每一个数的欧拉函数（即[1, n - 1 ]中与n互质的数的个数），然后求和即可

第二种情况是当B数组所取的值是小于等于a时，就是求[1, n]中与 x互质的元素个数，x > n, 反向思维可以先求出与x不互质的元素个数，然后用总数去减就可以了，因为 X 肯定可以表示成素数相乘的形式，即 X = p1 * p2 *...，那与x不互质的元素个数 = n / p1 + n / p2 + ... - n / p1 * p2，利用容斥原理可以求解。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <map>#include <set>#include <vector>#include <queue>#include <cmath>#include <bitset>using namespace std;const int SIZE = 100005;typedef long long ll;int prime[SIZE],primesize,phi[SIZE];bool isprime[SIZE];ll pre[SIZE];void getlist(int listsize){    memset(isprime,1,sizeof(isprime));    phi[1] = 1;    isprime[1]=false;    for(int i=2;i<=listsize;i++)    {        if(isprime[i])        {             prime[++primesize]=i;             phi[i]=i-1;         }         for(int j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++)         {            isprime[i*prime[j]]=false;            if(i%prime[j]==0)             {                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);        }    }    return;}int factor[100];int getFactors(int x){    int fatCnt = 0;    int tmp = x;    for(int i = 1; prime[i] <= tmp/prime[i];i++)    {        if(tmp%prime[i] == 0)        {            factor[fatCnt] = prime[i];            while(tmp%prime[i] == 0)            {                tmp /= prime[i];            }            fatCnt++;        }    }    if(tmp != 1)    {        factor[fatCnt++] = tmp;    }    return fatCnt;}int solve(int x, int n){    int ans = 0;    int m = getFactors(x);    for(int i = 1; i < (1 << m); ++i)    {        int cnt = 0;        int pro = 1;        for(int j = 0; j < m; ++j)        {            if( (i >> j) & 1)            {                cnt += 1;                pro *= factor[j];            }        }        if(cnt & 1) ans += n / pro;        else ans -= n / pro;    }    return n - ans;}int main(){    getlist(100000);    pre[0] = 0LL;    for(int i = 1; i <= 100000; ++i)        pre[i] = pre[i - 1] + phi[i];    int a, b, c, d, k;    int CASE;    scanf("%d", &CASE);    for(int cas = 1; cas <= CASE; ++cas)    {        scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);        if(k == 0)        {            printf("Case %d: 0\n", cas);            continue;        }        b /= k;        d /= k;        if(b > d) swap(b, d);        ll ans = pre[b];        for(int i = b + 1; i <= d; ++i)            ans += (long long)solve(i, b);        printf("Case %d: %lld\n", cas, ans);    }    return 0;}

参考资料：http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html

http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3269182.html

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