hdu6129 Just do it

Just do it

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Problem Description

There is a nonnegative integer sequence a1...n of length n. HazelFan wants to do a type of transformation called prefix-XOR, which means a1...n changes into b1...n, where bi equals to the XOR value of a1,...,ai. He will repeat it for m times, please tell him the final sequence.

 

Input

The first line contains a positive integer T(1≤T≤5), denoting the number of test cases.
For each test case:
The first line contains two positive integers n,m(1≤n≤2×105,1≤m≤109).
The second line contains n nonnegative integers a1...n(0≤ai≤230−1).

 

Output

For each test case:
A single line contains n nonnegative integers, denoting the final sequence.

 

Sample Input

21 113 31 2 3

 

Sample Output

1

1 3 1

题目大意：给你一个数列然你求m次前缀异或和。

解题思路：写一写前前几次的结果，观察规律

（以n=5，m=5为例）

An上面的系数代表这个数异或了几次。

把每一次的第i项a1异或的次数拿出来得到

1      1      1      1      1

1      2      3      4      5

1      3      6      10     15

1      4      10     20     35

1      5      15     35     70

.............................

发现斜着来的话是一个杨辉三角，第x次变换的第y项则系数为C（x+y-2，y-1）

知识点：1.一个数异或偶数次自己为0。2.一个数异或奇数次自己为其本身。3.一个数异或0为它本身。

也就是说当异或的次数为偶数时相当于没有异或，为奇数时相当于其本身，那么我们把每一次异或的系数求出判断它的奇偶性，并进行计算。比如上图m=5，n=5.我们要求第m次一伙的第1项时，算出C（4，0）=1，为奇数都有1这个系数，b[1]~b[5]（最终要求的）异或上a[1]~a[5].第二项C（5,1）=5，为奇数，b[2]~b[5]分别异或a[1]~a[4],.............一直按这个规律求下去。

那么下面有一个问题就是说如何判断C（K，S）为奇数还是偶数，算出来，嗯，可以直观想法但当K，S很大时会爆的。有一个结论：如果K&S==S，那么C（K,S）为奇数。网上有一些证明，看懂了一点结合自己的看法证了一下，下面为证明过程。

证明：

对于给定C(K,S)，检查n中2因子的个数与S和(K-S)中2因子个数和的关系，假设K!中2因子个数为a，S!中2因子个数为b，(K-S)!中2因子个数为c，则显然有a>=(b+c)；并且当a==b+c时，一定为奇，否则为偶。题意转化为求a和b+c。

K!中含有2因子的个数等于(K-它的二进制形式中1的个数)  先证明这个小结论。

1.当K等于1时显然成立。

2.假设当K=P时也成立，即P=P二进制形式中1的个数（设为Pe）+P！中含有2因子的个数（设为Pg）。

3.当P为偶数时，P+1为奇数，那么（P+1）！中含有2因子的个数就为Pg,而（P+1）二进制形式中的1的个数为Pe+1.

所以，P+1=（P+1）二进制形式中1的个数（设为Pe1）+（P+1）！中含有2因子的个数（设为Pg1）

当P为奇数的时候，P+1假设进位为t（比如1001+1--->1010进位就为1，而1011111+1--->1100000进位为5）发现P+1二进制中1的个数比P二进制中1的个数少了t-1个，并且（P+1）中2因子的个数比P中2因子的个数多了t个（因为是奇数，所以为0），1011111----0个，1100000----2^5+2^6-----2^5(1+2^6)

因为我们假设P=Pe+Pg，那么P+1=Pe+Pg+1.而Pg1=Pg+t，Pe1=Pe-t+1，则P+1=Pe1+t-1+Pg1-t+1.即P+1=Pe1+Pg1.

由数学归纳法的得原结论：K!中含有2因子的个数等于(K-它的二进制形式中1的个数)成立。

a=K-K二进制形式中1的个数，b=S-K二进制形式中1的个数  ，c=K-S -（K-S）二进制形式中1的个数。

如果a=b+c（即C（K,S）为奇数）那么   K-K二进制形式中1的个数=S-S二进制形式中1的个数+K-S-（K-S）二进制形式中1的个数。化简得：

K二进制形式中1的个数-S二进制形式中1的个数=（K-S）二进制形式中1的个数。由此条件可得K&S==S即判断C（K，S）为奇数。

举个例子：K=1001101110

       S=      1101010   那么K-S   ->1000000100

这个时候   K二进制形式中1的个数-S二进制形式中1的个数=（K-S）二进制形式中1的个数  等价于  K&S==S 反之则不成立，有兴趣的可以自己模拟一下。

AC代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;int a[2050000];int b[2050000];int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        int n,m;        scanf("%d%d",&n,&m);        memset(b,0,sizeof(b));        for(int i=1; i<=n; i++)            scanf("%d",&a[i]);        for(int i=1; i<=n; i++)        {            int y=i-1;            int x=i+m-2;            if((x&y)==y)///判断为奇数            {                for(int j=i; j<=n; j++)                    b[j]^=a[j-i+1];            }        }        for(int i=1; i<=n; i++)        {            printf("%d%c",b[i],i==n?'\n':' ');        }    }    return 0;}