POJ.1753 Flip Game (高斯消元 枚举自由元)

标签（空格分隔）： 高斯消元

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题意分析

基本方法是和解决异或方程组是一样的。严格来讲，遇到有多个自由元的时候，不能统一将自由元当做0处理。

自由元在前几篇题解中已经提及他的概念了，包括一些详细的解释。所谓自由元指的是在有无穷解的情况下，随意取值的自变量。举个栗子例子：

{u+x+2y+z=30y+z=20

明显在上述方程组中u,x均为自由元，因为y,z之间有约束关系。
可以看出上述方程组是无穷解的。

接着解释什么是枚举自由元，在有多个自由元的时候，我们要一次枚举这些自由元的值。在普通方程中，自由元的取值有无数种，而在异或方程组中，只有0,1两种取值，所有是有限种数。枚举的方法就是二进制枚举法，大家可以在网上找一些资料，这里不过多赘述了。

再枚举的过程中，相当于我们对自由元进行了赋值，于是就可以带入原来的未求解方程进行高斯消元，依次求解出所有未知数的值了。对于异或方程组，我们总可以在枚举的所有情况中找到一个翻转次数最小的，那么这就为最优解。

给出枚举自由元的核心代码
参数n是自由元的个数，ans保存最后的最优解。

void enum_freex(int n,int & ans){    int num = (1<<(n));    ans = 1e9+7;    for(int i = 0;i<num;++i){        int cnt = 0;        for(int j = 0;j<n;++j){            if(i&(1<<j)){                cnt++;                x[free_x[j]] = 1;            }else x[free_x[j]] = 0;        }        for(int k = var-n-1;k>=0;--k){// 没有自由元的最下面一行            int index = 0;            for(index = k;k<var;index++){// 在当前行找到第一个非0自由元(如果存在的话)                if(a[k][index]) break;            }            x[index] = a[k][var];            for(int j = index+1;j<var;++j){// 向后依次计算出结果                if(a[k][j]) x[index] ^= x[j];            }            cnt += x[index]; // 如果结果为1，则统计        }        ans = min(ans,cnt);    }}

值得注意的是，此题要求将棋子翻转成同一种颜色的即可，所以有两种方案，分别枚举，然后取最小值。

代码总览

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#define nmax 35using namespace std;int a[nmax][nmax];int x[nmax];int hashback[nmax][nmax];int free_x[nmax];char mp[nmax][nmax];int ans1,ans2;int equ,var;int Gauss(){    int max_r;    int col=0,num = 0;    int k;    for(int i = 0;i<=var;++i) x[i] = free_x[i] = 0;    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){        max_r=k;        for(int i=k+1;i<equ;i++){            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;        }        if(max_r!=k){            for(int j=k ;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);        }        if(a[k][col]==0){            free_x[num++] = col;            k--; continue;        }        for(int i=k+1;i<equ;i++){            if(a[i][col]!=0){                for(int j=col;j<var+1;j++){                    a[i][j]^=a[k][j];;                }            }        }    }    for(int i = k;i<equ;++i){        if(a[i][col] != 0) return -1;    }    if(k < var) return var - k;    for(int i = var - 1; i >= 0; i--){        x[i]=a[i][var];        for(int j = i + 1; j < var; j++){            x[i] ^= ( a[i][j] && x[j]);        }    }    return 0;}void enum_freex(int n,int & ans){    int num = (1<<(n));    ans = 1e9+7;    for(int i = 0;i<num;++i){        int cnt = 0;        for(int j = 0;j<n;++j){            if(i&(1<<j)){                cnt++;                x[free_x[j]] = 1;            }else x[free_x[j]] = 0;        }        for(int k = var-n-1;k>=0;--k){// 没有自由元的最下面一行            int index = 0;            for(index = k;k<var;index++){// 在当前行找到第一个非0自由元(如果存在的话)                if(a[k][index]) break;            }            x[index] = a[k][var];            for(int j = index+1;j<var;++j){// 向后依次计算出结果                if(a[k][j]) x[index] ^= x[j];            }            cnt += x[index]; // 如果结果为1，则统计        }        ans = min(ans,cnt);    }}void init(){    int tot = 0;    memset(x,0,sizeof x);    memset(a,0,sizeof a);    for(int i = 0 ;i<4;++i)        for(int j = 0;j<4;++j)            hashback[i][j] = tot++;    for(int i = 0;i<4;++i){        for(int j = 0;j<4;++j){            int t = hashback[i][j];            a[t][t] = 1;            if(i != 0) a[hashback[i-1][j]][t] = 1;            if(i != 3) a[hashback[i+1][j]][t] = 1;            if(j != 0) a[hashback[i][j-1]][t] = 1;            if(j != 3) a[hashback[i][j+1]][t] = 1;        }    }}void solve1(){    init();    for(int i = 0;i<4;++i){        for(int j = 0;j<4;++j){            if(mp[i][j] == 'b') a[hashback[i][j]][16] = 1;            else a[hashback[i][j]][16] = 0;        }    }    ans1 = Gauss();    if(ans1 == -1) return;    else if(ans1 > 0){        enum_freex(ans1,ans1);    }else{        for(int i = 0;i<4;++i)            for(int j = 0;j<4;++j)                if(x[hashback[i][j]] == 1) ans1++;    }}void solve2(){    init();    for(int i = 0;i<4;++i){        for(int j = 0;j<4;++j){            if(mp[i][j] == 'w') a[hashback[i][j]][16] = 1;            else a[hashback[i][j]][16] = 0;        }    }    ans2 = Gauss();    if(ans2 == -1) return;    else if(ans2 > 0){        enum_freex(ans2,ans2);    }else{        for(int i = 0;i<4;++i)            for(int j = 0;j<4;++j)                if(x[hashback[i][j]] == 1) ans2++;    }}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    ans1 = ans2 = 0;    equ = var = 16;    for(int i =0 ;i<4;++i) scanf("%s",mp[i]);    solve1();    solve2();    //printf("ans1 %d ans2 %d\n",ans1,ans2);    if(ans1 == -1 && ans2 == -1){        printf("Impossible\n");    }else if(ans1 == -1){        printf("%d\n",ans2);    }else if(ans2 == -1){        printf("%d\n",ans1);    }else{        printf("%d\n",min(ans1,ans2));    }    return 0;}