时间复杂度和空间复杂度

将算法中基本操作的执行次数作为算法的时间复杂度
T(n)=O(f(n)中增长最快的项/ 此项的系数) ， 比如f(n)=2n3+4n2+100 ， 则其时间复杂度为为T(n)=O(2n3/2)=O(n3)。

常用的比较关系如下：

通过以上分析我们总结出计算一个算法时间复杂度的步骤如下：
（1） 确定算法中的基本操作，以及问题的规模。
（2）根据基本操作执行情况计算出规模n 的函数f(n)，并确定时间复杂度为T(n)=O(f(n)中增长最快的项/此项的系数)。
注意：有的算法中基本操作执行次数跟初始输入的数据有关。如果题目不做特殊要求，
一般我们依照使得基本操作执行次数最多的输入来计算时间复杂度，即将最坏的情况作为
算法时间复杂度的度量。
1．2．2 例题选讲
例题1：求出以下算法的时间复杂度。

void fun(int n){int i=1,j=100;while(i<n){j++;i+=2;}}

分析：
第一步：找出基本操作，确定规模n。

• 找基本操作（所谓基本操作，即其重复执行次数和算法的执行时间成正比的操作，通俗点说，这种操作组成了算法，当它们都执行完的时候算法也结束了，多数情况下我们取最深层循环内的语句所描述的操作作为基本操作），显然题目中j++;与i+=2;这两行都可以

第二步：计算出n 的函数f(n)。
显然，n 确定以后，循环的结束与否与i 有关，i 的初值为1，每次自增2，假设i 自增m 次后循环结束，则i 最后的值为1+2×m，因此有1+2×m+K=n（其中K 为一个常数，
因为在循环结束时i 的值稍大于n，为了方便表述和进一步计算，用K 将1+2×m 修正成n。
因为K 为常数，所以这样做不会影响最终时间复杂度的计算），解得m=(n-1-K)/2，即
f(n)=(n-1-K)/2，可以发现其中增长最快的项为n/2,因此时间复杂度T(n)=O(n)。

例题2：分析以下算法的时间复杂度。

void fun(int n){int i，j，x=0；for(i=1;i<n;i++)for(j=i+1;j<=n;j++)x++;}

分析：
x++;处于最内层循环，因此取x++;做为基本操作。显然n 为规模。可以算出x++;的
执行次数为f(n)=n(n-1)/2，变化最快的项为n2，因此时间复杂度为T(n)=O(n2)。
例题3：分析以下算法的时间复杂度。

void fun(int n){int i=0;s=0;while(s<n){i++;s=s+i;}}

分析：
显然n 为规模，基本操作为i++;s=s+i;i 与s 都从0 开始，假设循环执行m 次结束，
则有s1=1,s2=1+2=3,s3=1+2+3=6, ……,sm=m(m+1)/2（其中sm 为执行到第m 次的时
候s 的值），则有m(m+1)/2+K=n，（K 为起修正作用的常数）由求根公式得：

即：
由此可知时间复杂度为：
T(n)=O(√n)