树状数组
来源:互联网 发布:windows编程的书 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 15:26
树状数组
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和,但是每次只能修改一个元素的值;经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改,但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。
树状数组与线段树的区别:
1.线段数和树状数组可以修改,而前缀和不能修改。
2.树状数组空间复杂度较低。
树状数组的原理:
假设数组a[n],要求它任意区间的和,并且支持修改任意数的值,树状数组利用二进制来实现该功能。
知道这一点,我们假设a[8]={1,2,3,4,5,6,7,8},下面看一下它实现的过程。
在说这个过程代码实现之前说一下lowerbit的作用及原理:
1.lowerbit(x)可以讲x对应的二进制数,从右边数第一个1不变,其他全变成0,例如x=1010100,那么lowerbit(x)=0000100。
2.lowerbit(x)的原理实际上就是执行 x&(-x) 的过程,例如:x=10101000,那么-x=010101000(-x的求出过程,先将符号位的1变成0再将其他位求反,最后再加上1),则 x&(-x) = 00001000
下面图中所给思想的实现过程:
void init(int n) { for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d", &a[i]); maxVal[i] = a[i];//以后的a[i]还要修改呢// for (int j = 1; j < lowbit(i); j <<= 1) // 与所有涉及到的子区间段最大值比较 { maxVal[i] = max(maxVal[i], maxVal[i - j]); } } }
接下来我们看修改值函数的实现:
void update(int x, int val, int n) // 单单改变父亲结点是不够的,因为无法确定这段区间中的最大值来自哪里, { // 所以还需要与子区间进行比较确定最大值 a[x] = val; for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) { maxVal[i] = a[i]; for (int j = 1; j < lowbit(i); j <<= 1) { maxVal[i] = max(maxVal[i], maxVal[i - j]); } } }最后看寻找最大值的函数:int getMax(int l, int r) { int ret = a[r]; while (l != r) { for (r -= 1; r - lowbit(r) >= l; r -= lowbit(r)) // 1.判断是区间是否在查询范围内 { ret = max(ret, maxVal[r]); } ret = max(ret, a[r]); // 2.如果不在查询范围内,则只能将第r个数加入判断 } return ret; }下面举个例题说明一下;I Hate It 很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问,从某某到某某当中,分数最高的是多少。 这让很多学生很反感。 不管你喜不喜欢,现在需要你做的是,就是按照老师的要求,写一个程序,模拟老师的询问。当然,老师有时候需要更新某位同学的成绩。Input本题目包含多组测试,请处理到文件结束。 在每个测试的第一行,有两个正整数 N 和 M ( 0<N<=200000,0<M<5000 ),分别代表学生的数目和操作的数目。 学生ID编号分别从1编到N。 第二行包含N个整数,代表这N个学生的初始成绩,其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。 接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取'Q'或'U') ,和两个正整数A,B。 当C为'Q'的时候,表示这是一条询问操作,它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中,成绩最高的是多少。 当C为'U'的时候,表示这是一条更新操作,要求把ID为A的学生的成绩更改为B。 Output对于每一次询问操作,在一行里面输出最高成绩。Sample Input5 61 2 3 4 5Q 1 5U 3 6Q 3 4Q 4 5U 2 9Q 1 5Sample Output5659HintHuge input,the C function scanf() will work better than cin
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int MAXN = 2e5 + 111; int maxVal[MAXN], a[MAXN]; int lowbit(int x) { return x & -x; } void init(int n) { for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d", &a[i]); maxVal[i] = a[i]; for (int j = 1; j < lowbit(i); j <<= 1) // 与所有涉及到的子区间段最大值比较 { maxVal[i] = max(maxVal[i], maxVal[i - j]); } } } int getMax(int l, int r) { int ret = a[r]; while (l != r) { for (r -= 1; r - lowbit(r) >= l; r -= lowbit(r)) // 1.判断是区间是否在查询范围内 { ret = max(ret, maxVal[r]); } ret = max(ret, a[r]); // 2.如果不在查询范围内,则只能将第r个数加入判断 } return ret; } void update(int x, int val, int n) // 单单改变父亲结点是不够的,因为无法确定这段区间中的最大值来自哪里, { // 所以还需要与子区间进行比较确定最大值 a[x] = val; for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) { maxVal[i] = a[i]; for (int j = 1; j < lowbit(i); j <<= 1) { maxVal[i] = max(maxVal[i], maxVal[i - j]); } } } int main() { int n, m, a, b; while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { init(n); char op[2]; for (int i = 0; i < m; ++i) { scanf("%s%d%d", op, &a, &b); if (op[0] == 'Q') printf("%d\n", getMax(a, b)); else update(a, b, n); } } return 0; }
愿你一生清澈明朗,做您愿做之事,爱你愿爱之人!
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