最短路径问题的概述

最短路径问题，通俗地说，就是寻找一个图（有向图或无向图）两点之间的最短路径。下面我们讨论的都是带权图的最短路径问题，即找出两点之间总权值最小的路径的权值；因此，我们可以把最短路径理解为最小（权）路径。

听起来可能会有些绕口，我们不妨举个实例。一个人若是有急事要开车从一个城市到另一个城市，而我们已知地图上所有的路径及它们的权值（这里的路径权值可以理解为行驶速度、路程长度、费用等综合值；亦即是说，权可以理解为路径的代价），那么我们怎么知道从这个城市行驶到另一个城市的最小总权值呢？

以上一个问题就是一种最短路问题，它属于单一起点单一终点的最短路径问题。除此之外，还有许多最短路径问题，大致可以分为以下几种：

1、求图中一点到其他所有点的最短路径，称为单源最短路问题，相关算法有Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA；

2、已知起点、终点求最短路径，它可以转换为1类问题，也就是说求出起点到其它所有点的最短路径，从而求出起点到终点的最短路径，目前来说这种方法求解效率最佳；

3、已知终点，求其他所有点到终点的最短路径，它可以反向转换为1类问题求解；

4、给出多对任意起点终点求最短路径，称为多源最短路问题，它可以转化为若干个1类问题求解，但也有其它简便的算法，如Floyed。

下面定义一些函数与集合，之后介绍的算法都如其含义：

设G=(V,E)，其中V是点集，E是点对集（边集），|V|表示V的元素个数即顶点数，ω(u,v)表示点u到点v的边权（若两点有边相连）；特别地，当G是无向图时，ω(u,v)=ω(v,u)。为了区分两点间有边或是无边，一般我们会把ω(u,v)初始为特殊值如0，-1或+∞，再在输入图时给有边的两点赋值为它们的边权。我们再设δ(I,j)表示点i到点j的最小总边权（即从i到j，经过的最小边权之和），对于上面的问题，我们可以这样定义：

1、求δ(I,j)，其中i是起点，j是终点且j=1,2,..,|V|；

2、求δ(I,j)，其中i是起点，j是终点；

3、求δ(I,j)，其中i是起点，j是终点且i=1,2,..,|V|；

4、求δ(I,j)，其中i是起点，j是终点且i=1,2,..,|V|，j=1,2,..,|V|；

另外，还有一些特殊概念的定义：

1、负权边

负权边指的是图中边权为负数的边，它对一些算法如dijkstra的决策有影响，因此要根据实际问题选择对应算法。

2、负环

最短路径问题有无解的情况，即图中存在负环时。负环又称负权回路，即从一个点u出发，存在一条路径使得δ(u,u)<0（即走过一条路径回到自己时经过的总边权小于0）。

证明：因为图存在负环，所以必定可以找到一条路径使得δ(u,u)<0，那么只要无限地走这个负环，它的总权值总是更优，即趋于越来越小直到-∞。因此存在负环的图最短路径问题无解。

特别地，对于一个无向图，显然只要存在负权边即存在负环。

了解这些概念之后，我们可以去学习一下最短路的相关算法。