51nod 1597 有限背包计数问题 dp

题意

你有一个大小为n的背包，你有n种物品，第i种物品的大小为i，且有i个，求装满这个背包的方案数有多少
两种方案不同当且仅当存在至少一个数i满足第i种物品使用的数量不同
1<=n<=10^5，答案对23333333取模

分析

设lim=sqrt(n)，我们把所有物品按照大于lim和不大于lim分成两部分。对于大于lim的部分，显然每种物品是一定用不完的，且在这部分所选物品数量一定不会超过lim。
那么我们可以对大于lim的部分进行dp，设g[i,j]表示我选了i种物品，和为j的方案数。转移为g[i,j]=g[i-1,j-lim-1]+g[i,j-i]。
再对不大于lim的部分进行dp，设f[i,j]表示前i种物品中选了若干种其和为j的方案数。转移的时候可以用类似单调队列优化多重背包的方法来优化。
最后统计答案即可，
时间复杂度O(nn√)

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;typedef long long LL;const int N=100005;const int MOD=23333333;int n,lim,f[2][N],g[2][N],s[N];int main(){    scanf("%d",&n);    lim=sqrt(n);    g[0][0]=1;s[0]++;    int now=0;    for (int j=1;j<=lim;j++)    {        now=1-now;        memset(g[now],0,sizeof(g[now]));        for (int i=lim+1;i<=n;i++)            g[now][i]=(g[now][i-j]+g[now^1][i-lim-1])%MOD,(s[i]+=g[now][i])%=MOD;    }    f[0][0]=1;    now=0;    for (int i=1;i<=lim;i++)    {        now=1-now;        for (int j=0;j<i;j++)        {            int s=0;            for (int k=j;k<=n;k+=i)            {                (s+=f[now^1][k])%=MOD;                if (k-i*i-i>=0) s=(s-f[now^1][k-i*i-i]+MOD)%MOD;                f[now][k]=s;            }        }    }    int ans=0;    for (int i=0;i<=n;i++) (ans+=(LL)f[now][i]*s[n-i]%MOD)%=MOD;    printf("%d",ans);    return 0;}