51nod 1201[整数划分] 1259[整数划分V2] 1597 [有限背包计数问题]

因为觉得这三题差不多，思路有相同的地方也有不同的地方，挺有趣的，所以放在一起。

51nod 1201整数划分：

题目大意：

给出n，将n分为1-n中若干个不同的数的和，求方案数，模一个被模烂的质数。(1<=n<=50000)

题解：

每个数不同，那么和最小的情况就是1,2,3…，
假设是1-i的和，那么就有i∗(i+1)/2<=n,i<=2n−−√
所以最多有2n−−√个数。
于是可以dp。
设fi,j,gi,j分别表示现在已经有了i个不同的数，和为j，f表示方案数，g表示最小的数大于1的方案数。

转移显然有：
fi,j=[j>0]∗gi−1,j−1+[j>=i]∗fi,j−i
gi,j=fi−1,j−i

所以转移可以简化为：
fi,j=[j>=i]∗(fi−1,j−i+fi,j−i)

时间复杂度:O(nn√)

Code:

#include<cmath>#include<cstdio>#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)using namespace std;const int mo = 1e9 + 7;int n, m, ans, o, f[2][50001];int main() {    scanf("%d", &n); m = sqrt(2.0 * n) + 1;    if(m > n) m = n;    f[0][0] = 1;    fo(i, 1, m) {        o = !o;        f[o][0] = 0;        int nn = i * (i - 1) / 2;        fo(j, 1, nn - 1) f[o][j] = 0;        fo(j, nn, n) f[o][j] = (f[o][j - i] + f[!o][j - i]) % mo;        ans = (ans + f[o][n]) % mo;    }    printf("%d", ans);}

51nod 1259 整数划分V2:

题目大意：

给出n，将n分为1-n中若干个数的和，求方案数，模一个被模烂的质数。

题解：

这是我们发现数可以重复了，那么最多有n个数，于是刚才那个dp挂了。

但是它可以分块，设m=n√。

对于前m个数，暴力无限背包，这一部分的复杂度是O(nn√)

对于第m+1个数到第n个数，发现最多用n√个，所以有可以上之前的dp，转移更简单，因为不用考虑重复。

设fi,j表示现在已经有了i个数，和为j的方案数。

fi,j=[j>0]∗fi−1,j−1+[j>=i]∗fi,j−i。

时间复杂度：O(nn√)

Code:

#include<cmath>#include<cstdio>#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)using namespace std;const int mo = 1e9 + 7;int n, m, o, ans, f[2][50001];int main() {    scanf("%d", &n); m = sqrt(n * 1.0);    f[o][0] = 1;    fo(i, 1, m) {        o = !o;        fo(j, 0, i - 1) f[o][j] = f[!o][j];        fo(j, i, n) f[o][j] = (f[o][j - i] + f[!o][j]) % mo;    }    ans = f[o][n];    fo(i, 1, m) {        o = !o;        fo(j, 0, n) {            f[o][j] = 0;            if(j > m) f[o][j] = f[!o][j - (m + 1)];            if(j >= i) f[o][j] = (f[o][j] + f[o][j - i]) % mo;        }        ans = (ans + f[o][n]) % mo;    }    printf("%d", ans);}

51nod 1597 有限背包计数问题

题目大意：

给出一个n，你有n种物品，第i种物品的体积为i，有i个，背包大小为n，求装满这个背包的方案数。

题解：

也是分块。
对于前n√种物品，暴力多重背包。
对于第n√+1种物品到第n种物品，直接用整数划分V2后面的dp即可。

时间复杂度：O(nn√)

Code:

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)using namespace std;const int N = 100005;int n, m, o, f[2][N], g[2][N];const int mo = 23333333;int main() {    scanf("%d", &n); m = sqrt(n * 1.0);    f[o][0] = 1;    fo(i, 1, m) {        o = !o; memset(f[o], 0, sizeof(f[o]));        fo(j, 0, i - 1) {            int sum = 0;            fo(k, 0, (n - j) / i) {                sum += f[!o][k * i + j];                sum = (sum + mo) % mo;                f[o][k * i + j] = (f[o][k * i + j] + sum) % mo;                if(k >= i) sum -= f[!o][(k - i) * i + j];            }        }    }    int sum = f[o][n];    fo(i, 1, m) {        o = !o;        fo(j, 0, n) {            f[o][j] = 0;            if(j >= (m + 1)) f[o][j] = f[!o][j - (m + 1)];            if(j >= i) f[o][j] = (f[o][j] + f[o][j - i]) % mo;        }        sum = (sum + f[o][n]) % mo;    }    printf("%d", sum);}