HDU 6150 Vertex Cover【构造二分图】

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2017中国大学生程序设计竞赛 - 网络选拔赛

题意：这是2017中国大学生程序设计竞赛网络选拔赛的题1。首先题目给你一个求最小顶点覆盖的近似算法：每次取度数最大的点删去它和其关联的所有边，继续该过程直到完成覆盖。现要求构造一个图来“卡”这个算法，就是说要构造一个足够“坏”的图，使得按照题目该出的近似算法求出的顶点覆盖集的规模>=你能给出的顶点覆盖规模。输出构造的图和给出你的顶点覆盖。

思路：

    看到此题时以为只用在演算纸上画出符合条件的图，然后程序直接输出，而事实证明并没这么简单，还是需要运用步骤性的算法解决。其实首先可以这样思考，假如我的顶点覆盖方案有n个点，那么要让近似算法选3*n个点，不妨直接构造成二分图，左边n个点，右边3n个点，现在目的便是连边使得近似算法取右边作为顶点覆盖即可。

    连边的话倒着来想即可，右边取到最后只剩一个点（不妨设为n+1号点）时，要保证取n+1号点，那么该点至少连一条边到左边点集即可，这里要注意一点：留意近似算法是度数相同时取编号大的，所以预留的1~n号为自个儿方案的点就是这个目的。好继续倒推，对于n+2号点也只需连一条边到左边点集，不与刚刚n+1号点连的相同即可，依次类推一直到2n号点都只需连一条线，而对于2n+1号点，由于左边点集现在都已经度数为1了，所以2n+1号点至少要连两条边，这样这三个点都是度数为2，优先取2n+1满足条件，如此思路倒推回去....右边点集可以构造出来的点数：度数为1的有n个点，度数为2点的n/2，n/3，n/4.... n/k   求和只要大于3n即可

    我取n=50大概算了一下，k=12即可。

代码如下：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int main(){    int n=50; //n为二分图左边的点数+3n为二分图右边点数    int tot=0,m=0,weight=1;    for(int i=n+1;i<=4*n;i++)    {        m+=weight;        tot+=weight;        if(tot+weight>n)        {            weight++;            tot=0;        }    }//以上统计边数m    printf("%d %d\n",4*n,m);    weight=1;    tot=0;    for(int i=n+1;i<=4*n;i++)    {        for(int j=tot+1;j<=tot+weight;j++)        {            printf("%d %d\n",j,i);            m++;        }        tot+=weight;        if(tot+weight>n)        {            weight++;            tot=0;        }    }    printf("%d\n",n);    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",i);    return 0;}