组合数算法

一、概念

什么是组合数呢？

从m个不同元素中取出n（n≤m）个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数（Combination）。
组合数基本公式为：

Cnm=m!n!(m−n)!

线性写法为：c(m,n) = m!/((m-n)!*n!)

现实生活中彩票的概率计算就涉及到组合数，比如双色球中红球选择需要从 01~33 红球中选出6个，组合结果为 c(33,6) = 1107568.

二、计算方式

由于计算机数据存储方式的限制，阶乘的计算，如果是long int型只能正确计算到12左右的阶乘，如果用double型只能正确计算170左右的阶乘，当然这些只是大概，需要结合实际平台进行验证。

所以采用阶乘计算稍大数组合数是不合适的，而且效率不高，但是可以先对公式进行转换然后再进行计算：
1.对公式两边取自然对数

ln(Cnm)=ln(m!n!(m−n)!)

2.根据对数性质进行转换

ln(Cnm)=ln(m!)−ln(n!)−ln((m−n)!)

ln(Cnm)=∑i=1mln(i)−∑i=1nln(i)−∑i=1m−nln(i)

• 由于
  

  ∑i=1mln(i)=∑i=1nln(i)+∑i=n+1mln(i)

• 去除相同项
  

  ln(Cnm)=∑i=n+1mln(i)−∑i=1m−nln(i)

• 到这就已经将阶乘转换成对数连加，极大的降低了运算的复杂度。另外，依据组合数性质：
  

  Cnm=Cm−nm
  
  当 n > m/2 时，n 相对于 m - n 是一个较大的数，此时可以取 n = m - n进行计算。

3.进行计算
以第2步得到的公式计算出

ln(Cnm)

的值，然后再取反对数就可以得到组合数结果了。

用这种方法计算组合数，如果只计算ln(C(m,n))的话，n可以取到整型数据的极限值65535，

ln(C(65535,32767)) = 45419.6

而计算时间可以达到毫秒级。当然，如果要取反对数得到最终的组合数的话，m的取值就不能达到这么大了，但是这种算法仍然可以保证m取到1000以上。

4.该算法OC实现代码

/** 组合数计算 @param totalNum C(m,n) 中 m @param requireNum C(m,n) 中 n @return 组合数结果 */+ (NSInteger)selectFromTotalNum:(NSInteger)totalNum requireNum:(NSInteger)requireNum{    if (totalNum < requireNum) {        return 0;    }    if (requireNum < totalNum / 2.0) {        requireNum = totalNum - requireNum;    }    double s1 = 0;    for (NSInteger i = requireNum + 1; i <= totalNum; i ++) {        s1 += log((double)i);    }    double s2 = 0;    NSInteger ub = totalNum - requireNum;    for (int i = 1; i <= ub; i++) {        s2 += log((double)i);    }    double result = exp(s1 - s2);    //此处需要先进行四舍五入，不能直接强行取整，不然可能会有 1 的误差值    double temp = round(result); //四舍五入    return (NSInteger)temp;}

三、获取所有的可能组合

所有的可能性组合可以通过排列组合获得，该方式计算耗时长、资源占用严重，在iPhone6上测试仅 C(33,16) 的计算就需 12s左右的时间，内存和cpu更是爆满，但是当 m <= 10 时 还是可以接受的，所以该方法具有很大的局限性。

• 方法原理
  从包含m个元素的数组中不计顺序的选出n个元素，
  思路是创建一个数组，下标表示1到m个数，数组元素的值为1表示其下标代表的数被选中，为0则没选中。
  首先初始化，将数组前n个元素置1，表示第一个组合为前n个数。
  然后遍历数组元素值的 1、0 组合，找到第一个 1、0 组合后将其变为 0、1 组合，
  同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。
  当第一个“1”移动到数组的m-n的位置，即n个“1”全部移动到最右端时，就得到了最后一个组合。

  例如求5中选3的组合：

     1    1    1    0    0    //1,2,3     1    1    0    1    0    //1,2,4    1    0    1    1    0    //1,3,4    0    1    1    1    0    //2,3,4     1    1    0    0    1    //1,2,5       1    0    1    0    1    //1,3,5        0    1    1    0    1    //2,3,5       1    0    0    1    1    //1,4,5        0    1    0    1    1    //2,4,5        0    0    1    1    1    //3,4,5 

• 实现代码(oc)

+ (NSArray *)selectFromSource:(NSArray *)source requireNum:(int)requireNum{    NSMutableArray *results = [NSMutableArray array]; //排列组合结果    //@1 表示选中，@0 表示未选中    NSMutableArray *arr = [NSMutableArray array];    NSMutableArray *firstItem = [NSMutableArray array];    for (int i = 0; i < source.count; i ++) {        if (i < requireNum) {            [arr addObject:@1];            [firstItem addObject:source[i]];        }else{            [arr addObject:@0];        }    }    //第一种排列组合结果就是选择前 chooseNum 个元素    [results addObject:firstItem];    while (1) {        for (int index = 0; index < arr.count; index ++)        {            //排列组合完毕时退出循环            NSArray *checkArr = [arr objectsAtIndexes:[NSIndexSet indexSetWithIndexesInRange:NSMakeRange(0, source.count - requireNum)]];            if (![checkArr containsObject:@1])            {                return results;            }            if ((index < source.count - 1) && [arr[index] isEqual:@1] && [arr[index + 1] isEqual:@0])            {                [arr exchangeObjectAtIndex:index withObjectAtIndex:index + 1];                NSMutableArray *tempArr = [NSMutableArray arrayWithArray:[arr objectsAtIndexes:[NSIndexSet indexSetWithIndexesInRange:NSMakeRange(0, index)]]];                //将index左侧元素拿出来，并将其中所有的 1 移至左侧，这里可以使用系统的排序方法                [tempArr sortUsingComparator:^NSComparisonResult(NSNumber * obj1, NSNumber * obj2) {                    return [obj1 intValue] < [obj2 intValue];                }];                //替换arr中 index 左侧元素                [arr replaceObjectsInRange:NSMakeRange(0, index) withObjectsFromArray:tempArr];                //将已选择的元素挑选出来保存                NSMutableArray *selectedArr = [NSMutableArray array];                for (int j = 0; j < arr.count; j ++)                {                    if ([arr[j] isEqual:@1]) {                        [selectedArr addObject:source[j]];                    }                }                [results addObject:[selectedArr mutableCopy]];                break;            }        }    }}

参考文章：

1.高效的组合数计算方法