组合数快速算法

计算组合数最大的困难在于数据的溢出，对于大于150的整数n求阶乘很容易超出double类型的范围，那么当C(n,m)中的n=200时，直接用组合公式计算基本就无望了。另外一个难点就是效率。

    对于第一个数据溢出的问题，可以这样解决。因为组合数公式为：
    C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)

    为了避免直接计算n的阶乘，对公式两边取对数，于是得到：
    ln(C(n,m)) = ln(n!)-ln(m!)-ln((n-m)!)

    进一步化简得到：

   

    这样我们就把连乘转换为了连加，因为ln(n)总是很小的，所以上式很难出现数据溢出。

    为了解决第二个效率的问题，我们对上式再做一步化简。上式已经把连乘法变成了求和的线性运算，也就是说，上式已经极大地简化了计算的复杂度，但是还可以进一步优化。从上式中，我们很容易看出右边的3项必然存在重复的部分。现在我们把右边第一项拆成两部分：

   

    这样，上式右边第一项就可以被抵消掉，于是得到：

   

    上式直接减少了2m次对数计算及求和运算。但是这个公式还可以优化。对于上面公式里的求和，当m<n/2时，n-m是一个很大的数，但是当m>n/2时，n-m就会小很多。我们知道：
    C(n,m) = C(n,n-m)

    那么通过这个公式，我们可以把小于n/2的m变为大于n/2的n-m再进行计算，结果是一样的，但是却能减少计算量。

    当计算出ln(C(n,m))后，只需要取自然对数，就可以得到组合数：
    C(n,m) = exp(ln(C(n,m)))

    这样就完成了组合数的计算。
    用这种方法计算组合数，如果只计算ln(C(n,m))的话，n可以取到整型数据的极限值65535，
    ln(C(65535,32767)) = 45419.6

    而计算时间只需要0.01ms。当然，如果要取对数得到最终的组合数的话，n的取值就不能达到这么大了。但是这种算法仍然可以保证n取到1000以上，而不是开头说的150这个极限值。例如:
    C(1000,500) = 2.70288e+299
    计算时间仍然小于0.01ms。

    采用我这种算法，不仅n的取值范围大，而且计算速度高，不像用递归算法实现这个问题的时候，很容易陷入递归层次太深而导致计算时间太长。

    算法代码实现如下：

1 double lnchoose(int n, int m)
     2 {
     3     if (m > n)
     4     {
     5         return 0;
     6     }
     7     if (m < n/2.0)
     8     {
     9         m = n-m;
    10     }
    11     double s1 = 0;
    12     for (int i=m+1; i<=n; i++)
    13     {
    14         s1 += log((double)i);
    15     }
    16     double s2 = 0;
    17     int ub = n-m;
    18     for (int i=2; i<=ub; i++)
    19     {
    20         s2 += log((double)i);
    21     }
    22     return s1-s2;
    23 }
    24
    25 double choose(int n, int m)
    26 {
    27     if (m > n)
    28     {
    29         return 0;
    30     }
    31     return exp(lnchoose(n, m));
    32 }