第三章：3.1 正交函数集合

我们现在开始讲解信号频谱分析的理论基础，也就是正交函数集合

完备正交函数集合

要想搞清楚这个概念，我们先从正交讲起，之后我们定义正交函数。再然后我们定义正交集合。最后我们引入正交完备函数集合

正交

我们先来复习一下正交的概念

正交函数

之后我们引入正交函数的概念：如果两个函数之间内积为0，我们称之为正交函数。对于正交函数的定义，与正交的定义十分类似，只是这里变成了乘积和积分

正交函数集合

正交函数集合是指的在一定区间内的一些函数，两两之间具有正交关系。他们自身的内积（模的平方）是不为0的，信号的内积恰好与信号的能量定义是相同的。当这里的函数用于函数分解的时候，这里的每一个函数都称之为基函数。

分解公式是指的任意一个函数，都可以在正交函数集合中投影然后叠加（只是相似，并不一定相等）。其中系数c1就是前面用于度量函数相似的系数。

完备正交函数集合

如果一个函数，满足完备性。也就是分解公式不再是相似而是相等的关系。

对于完备正交函数有很多丰富的性质，其中有一条如下

关于这一点，我们可以推广，于是就有了帕塞瓦尔定理，这一定理在多种变换中都是适用的

分解之后，我们就有了一个全新的对信号观察和分析的角度

三角函数与复指数函数

下面我们分析一下三角函数与复指数函数的完备正交性