全局最短路径之弗洛伊德算法

Floyd（弗洛伊德）算法

该算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
时间复杂度为 O（N^3）
空间复杂度为 O（N^2）
Floyd算法蕴涵了动态规划的思想，
简单说：从任意节点i到任意节点j的最短路径存在两种可能

1. 直接从i到j
2. i经过若干个节点k到j

所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于Dijkstra算法
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

算法代码如下：

void Floyd(AdjMatrix *G){    int A[MaxVertices][MaxVertices],path[MaxVertices][MaxVertices];    int i,j,k;    //初始化    for (i=0;i<G->numV;i++)    {        for (j=0;j<G->numV;j++)        {            A[i][j]=G->Edge[i][j];            path[i][j]=-1;        }    }//三重循环，floyd算法核心    for (k=0;k<G->numV;k++)    {        for (i=0;i<G->numV;i++)        {            for (j=0;j<G->numV;j++)            {                if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])                {                    A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];                    path[i][j]=k;                }            }        }    }    Dispath(A,path,G->numV);//输出函数}

输出函数包括两部分

void Ppath(int path[][MaxVertices],int i,int j){    int k;    k=path[i][j];    if (k==-1)    {        return;    }    Ppath(path,i,k);    printf("%d->",k);    Ppath(path,k,j);}void Dispath(int A[][MaxVertices],int path[][MaxVertices],int n){    int i,j;    for (i=0;i<n;i++)    {        for (j=0;j<n;j++)        {            if (A[i][j]==INF)            {                if (i!=j)                {                    printf("从%d到%d没有路径\n",i,j);                }            }            else            {                printf("  从%d到%d的最短路径长度为：%d ",i,j,A[i][j]);                printf("路径：%d->",i);                Ppath(path,i,j);//两点i,j之间还有其他中继结点，则循环套用次函数                printf("%d\n",j);            }        }    }}

具体代码如下：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define MaxVertices 100 //假设包含100个顶点#define MaxWeight 32767 //不邻接时为32767，但输出时用 "∞"#define MAXV 10#define INF 32767typedef struct{ //包含权的邻接矩阵的的定义    char Vertices[MaxVertices];  //顶点信息的数组    int Edge[MaxVertices][MaxVertices]; //边的权信息的数组    int numV; //当前的顶点数    int numE; //当前的边数}AdjMatrix;void CreateGraph(AdjMatrix *G) //图的生成函数{     int n,e,vi,vj,w,i,j;    printf("请输入图的顶点数和边数（以空格分隔）：");    scanf("%d%d",&n,&e);    G->numV=n;G->numE=e;    for(i=0;i<n;i++) //图的初始化        for(j=0;j<n;j++)            {             if(i==j)                G->Edge[i][j]=0;            else                 G->Edge[i][j]=32767;            }    for(i=0;i<n;i++)        for(i=0;i<G->numV;i++) //将顶点存入数组中        {         printf("请输入第%d个顶点的信息(整型):",i+1);        // G->adjlist[i].vertex=getchar();         scanf(" %c",&G->Vertices[i]);        }    printf("\n");    for(i=0;i<G->numE;i++)    {         printf("请输入边的信息i,j,w(以空格分隔):");        scanf("%d%d%d",&vi,&vj,&w);         //若为不带权值的图，则w输入1        //若为带权值的图，则w输入对应权值        G->Edge[vi-1][vj-1]=w;//①        G->Edge[vj-1][vi-1]=w;//②        //无向图具有对称性的规律，通过①②实现        //有向图不具备此性质，所以只需要①    }}void DispGraph(AdjMatrix G) //输出邻接矩阵的信息{     int i,j;    printf("\n输出顶点的信息（整型）:\n");    for(i=0;i<G.numV;i++)        printf("%8c",G.Vertices[i]);    printf("\n输出邻接矩阵:\n");    printf("\t");    for(i=0;i<G.numV;i++)        printf("%8c",G.Vertices[i]);    for(i=0;i<G.numV;i++)    {         printf("\n%8d",i+1);        for(j=0;j<G.numV;j++)        {         if(G.Edge[i][j]==32767)         //两点之间无连接时权值为默认的32767，但输出时为了方便输出 "∞"            printf("%8s", "∞");        else            printf("%8d",G.Edge[i][j]);        }        printf("\n");       }}void Ppath(int path[][MaxVertices],int i,int j){    int k;    k=path[i][j];    if (k==-1)    {        return;    }    Ppath(path,i,k);    printf("%d->",k);    Ppath(path,k,j);}void Dispath(int A[][MaxVertices],int path[][MaxVertices],int n){    int i,j;    for (i=0;i<n;i++)    {        for (j=0;j<n;j++)        {            if (A[i][j]==INF)            {                if (i!=j)                {                    printf("从%d到%d没有路径\n",i,j);                }            }            else            {                printf("  从%d到%d的最短路径长度为：%d ",i,j,A[i][j]);                printf("路径：%d->",i);                Ppath(path,i,j);//两点i,j之间还有其他中继结点，则循环套用次函数                printf("%d\n",j);            }        }    }}void Floyd(AdjMatrix *G){    int A[MaxVertices][MaxVertices],path[MaxVertices][MaxVertices];    int i,j,k;    //初始化    for (i=0;i<G->numV;i++)    {        for (j=0;j<G->numV;j++)        {            A[i][j]=G->Edge[i][j];            path[i][j]=-1;        }    }//三重循环，floyd算法核心    for (k=0;k<G->numV;k++)    {        for (i=0;i<G->numV;i++)        {            for (j=0;j<G->numV;j++)            {                if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])                {                    A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];                    path[i][j]=k;                }            }        }    }    Dispath(A,path,G->numV);//输出函数}int main(){     AdjMatrix G;    freopen("1.txt","r",stdin);    CreateGraph(&G);    Floyd(&G);    DispGraph(G);}

注：由于测试输入数据较多，程序可以采用文件输入
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