利用回溯法解决1-9之间添加"+"或"-"或""使得运算结果为100的问题

问题描述

编写一个在1，2，…，9（顺序不能变）数字之间插入+或-或什么都不插入，使得计算结果总是100的程序，并输出所有的可能性。例如：1 + 2 + 34 – 5 + 67 – 8 + 9 = 100。

问题分析

这时我最近偶然看到的一道题目，发现实现起来还确实有些麻烦，所以把实现的过程记录下来。
这种要罗列出所有结果的问题，我一般是采用回溯法解决的，说的通俗一点就是暴力解法，去遍历所有的情况。
这个问题有一点比较难处理的地方就在于有这个“什么都不插入”这个选项，所以干脆单独拎出来解决。也就是先把1-9这9个数组相互组合，形成一个数组，比如：

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}{1,2,3,4,5,6,7,89}{1,2,3,4,5,6,78,9}{1,2,3,4,5,6,789}...

在分组的过程当中，由于问题的特殊性（要求结果为100），我们会发现像

{123456,789}

这样位数特别大的是不可能得到100这样的结果的，一个最小的6位数和一个最大的3位数的差都有

100000−999=99001
所以本问题中不用考虑把1-9划分成6位数及以上的情况。
将1-9划分好之后，接下来要做的就是把”+”和”-“填到划分的数字之间了，比如

划分成{1,2,3,4,5,6,7,8,9}时有：1+2+3+4+5+6+7+8+91+2+3+4+5+6+7+8-91+2+3+4+5+6+7-8+9...划分成{1,2,3,4,5,6,7,89}时有：1+2+3+4+5+6+7+891+2+3+4+5+6+7-89...其他情况就不列举了，相信应该看明白了

基于这样的思路，用C++对该想法进行了实现。

代码展示

下面程序可以将结果100改成其他的整数，都是适用的。

#include <iostream>#include <math.h>#include <vector>#include <string>using namespace std;class Solution{private:    vector<string> res;    vector<int> nums;    vector<int> eles;private:    void _compute(vector<int> vec, int index, int target, string &s){        if (index == vec.size()){            if (0 == target)                res.push_back(s + "=100");            return;        }        //分“+”和“-”两种情况讨论        for (int i = 0; i < 2; i++){            if (i == 0){                string tempStr = s + "+" + to_string(vec[index]);                _compute(vec, index + 1, target - vec[index], tempStr);            }            else if (i == 1){                string tempStr = s + "-" + to_string(vec[index]);                _compute(vec, index + 1, target + vec[index], tempStr);            }        }        return;    }    //用来得到1-9的不同整数组合，比如{123, 456, 789}，本质是将“”这个空符号加入到数之间    void _recursion(int index, int target){        if (index == 9){            string s = to_string(eles[0]);            _compute(eles, 1, target - eles[0], s);            return;        }        //为了问题的泛化采用i <= 9，如果针对结果为100的可以改成i <= 5        for (int i = 1; i <= 9; i++){            if (index + i > 9)                break;            int temp = 0;            //求得分解出来的每个元素的值            for (int j = 0; j < i; j++){                temp += nums[index + j] * pow(10, i - j - 1);            }            eles.push_back(temp);            _recursion(index + i, target);            eles.pop_back();        }        return;    }public:    Solution(){        nums = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };    }    vector<string> recursion(int index, int target){        _recursion(index, target);        return res;    }};int main(){    Solution s;    vector<string> res = s.recursion(0, 100);    cout << "共有" << res.size() << "种情况" << endl;    for (string s : res){        cout << s << endl;    }    return 0;}